Modellierung des Hängependels
- Um einen gleichen gemeinsamen Wissensstand zu gewährleisten, wird hier noch einmal die Herleitung des mittels Regler zu beruhigenden Hängependels gebracht:
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Bild 0-1: Schematische Darstellung und Freischnitt des Hängependels.
- S: Schwerpunkt.
- FG: Gravitationskraft im Schwerpunkt.
- Fx, Fy: Lagerkraft.
- FA: horizontale Antriebskraft.
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- Das Pendel ist reibungsfrei gelenkig gelagert.
- Im Schwerpunkt wirkt nur die Gravitationskraft FG.
- Das Pendel wird am unteren Ende durch eine nur horizontal wirkende Antriebskraft FA beruhigt.
- FA ist damit die Stellgröße des später implementierten Reglers.
- Das Pendel ist ein homogener Stab der Länge 1m, also gilt r=0,5m.
- Das Pendel sei zylindrisch und habe einen Durchmesser von d=0.05m.
- Die Pendelmasse m sei 1kg.
- Das Masseträgheitsmoment bzgl. des Schwerpunktes um eine senkrecht aus der Bildebene stehende Achse berechnet sich somit zu:
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Bild 0-2: Masseträgheitsmoment für das Hängependel bzgl. des Schwerpunktes.
- Als nächstes werden die Newton-Eulerschen Gleichungen für dieses System bzgl. des Schwerpunktes aufgestellt:
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Bild 0-3: Newton-Euler-Gleichungen zum Hängependel.
- Es lassen sich folgende Zwangsbedingungen ableiten:
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Bild 0-4: Zwangsbedingungen.
- Um die Zwangskräfte Fx und Fy eliminieren zu können, werden die Zwangsbedingungen in die Newton-Gleichungen eingesetzt und das Ergebnis davon in die Euler-Gleichung:
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Bild 0-5: Eliminierung der Zwangskräfte und Darstellung der Modellgleichung nur in Abhängigkeit von &phi.
- Zusammengefasst ergibt sich:
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Bild 0-6: Modellgleichung.