Herleitung der dynamischen Gleichungen für den "autonomen Hackenporsche"
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Bild 0-1: Schema zum "Autonomen Hackenporsche"
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| Bezeichnung | Beschreibung | Wert |
|---|---|---|
| l | Länge des Quaders | 1m |
| b | Höhe des Quaders | 0,6m |
| c | Halbe Höhe des Quaders | 0,3m |
| m | Masse des Quaders | 10kg |
| J | Hauptmasseträgheitsmoment des Quaders in Z-Richtung | (1/12)m(l2+b2) |
| D | Lineare Dämpfung in P und Q | 0,1 Ns/m |
Tabelle 0-1: Verwendete Größen
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$ m\left[\begin{array}{cc} \ddot x \\ \ddot y\end{array}\right]= \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_{R1} + \vec F_{R2} $
Formel 0-1: Newton-Gleichung.
$ J \ddot \phi = \vec r_{SP} x \vec F_1 + \vec r_{SQ} x \vec F_2 + \vec r_{SP} x \vec F_{R1} + \vec r_{SQ} x \vec F_{R2} $
Formel 0-2: Euler-Gleichung
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$ \vec F_1 ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}F_1 \\ 0\end{array}\right] $
Formel 0-3: F1 in I' \\
$ \vec F_2 ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}F_2 \\ 0\end{array}\right] $
Formel 0-4: F2 in I' \\
$ T=\left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right] $
Formel 0-5: Transformationsmatrix für die Drehung von I' \\ nach I.
$ \vec F_1 = T\left[\begin{array}{cc}F_1 \\ 0\end{array}\right] $
Formel 0-6: Bestimmung von F1 im Intertialkoordinatensystem.
$ \vec F_2 = T\left[\begin{array}{cc}F_2 \\ 0\end{array}\right] $
Formel 0-7: Bestimmung von F1 im Intertialkoordinatensystem.
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Wirkrichtungen der Kräfte F1 und F2 sind immer senkrecht zu den Hebeln, deshalb ergibt sich:
$ \vec r_{SP} ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}0 \\ c\end{array}\right] $
Formel 0-8: Vektor rSP in I' \\
$ \vec r_{SQ} ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}0 \\ -c\end{array}\right] $
Formel 0-9: Vektor rSQ in I' \\
$ M_1=-cF_1 $
Formel 0-10: Moment durch F1 im Inertialkoordinatensystem und auch im gestrichenen.
$ M_2=cF_2 $
Formel 0-11: Moment durch F1 im Inertialkoordinatensystem und auch im gestrichenen.
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$ \vec o_P ^{\prime} =\left[\begin{array}{cc}0 \\ c\end{array}\right] $
Formel 0-12: Ortsvektor nach P in I' \\
$ \vec o_Q ^{\prime} =\left[\begin{array}{cc}0 \\ -c\end{array}\right] $
Formel 0-13: Ortsvektor nach Q in I' \\
$ \vec o_P=\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]+T\left[\begin{array}{cc}0 \\ c\end{array}\right] $
Formel 0-14: Ortsvektor nach P in I
$ \vec o_Q=\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]+T\left[\begin{array}{cc}0 \\ -c\end{array}\right] $
Formel 0-15: Ortsvektor nach Q in I
Damit ergibt sich für die Geschwindigkeiten:
$ \vec v_P=\left[\begin{array}{cc} \dot x \\ \dot y\end{array}\right]+ \frac {d}{dt}{T\left[\begin{array}{cc}0 \\ c\end{array}\right]} $
Formel 0-16: Geschwindigkeit von P im Inertialkoordinatensystem
$ \vec v_Q=\left[\begin{array}{cc} \dot x \\ \dot y\end{array}\right]+ \frac {d}{dt}{T\left[\begin{array}{cc}0 \\ -c\end{array}\right]} $
Formel 0-17: Geschwindigkeit von Q im Inertialkoordinatensystem
..und so für die Kräfte:
$ \vec F_{R1} = -D \vec v_P $
Formel 0-18: Kraft FR1 im Inertialkoordinatensystem
$ \vec F_{R2} = -D \vec v_Q $
Formel 0-19: Kraft FR2 im Inertialkoordinatensystem
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Mit Hilfe obiger Beziehungen läßt sich bestimmen:
$ \vec M_{R1} = \left(T \vec r_{SP} ^{\prime} \right) x \left(-D \vec v_P\right) $
Formel 0-20: Kraft Moment MR1 im Inertialkoordinatensystem
$ \vec M_{R2} = \left(T \vec r_{SQ} ^{\prime} \right) x \left(-D \vec v_Q\right) $
Formel 0-21: Kraft Moment MR2 im Inertialkoordinatensystem