kramann.info
© Guido Kramann

Login: Passwort:










Regelungssysteme
1 day_by_day
2 Heizregelkreis
3 Verzoegerungsglieder
4 Laplace
..4.1 Eigenwerte
..4.2 PT1
..4.3 PRegler
..4.4 Scilab
5 Regleroptimierung
..5.1 Guetefunktion
..5.2 Heuristiken
..5.3 Scilab
..5.4 Gradientenverfahren
..5.5 ModifizierteG
..5.6 Gleichstrommotor
..5.7 Stoerverhalten
6 Javaanwendung
..6.1 PIDgeregelterAntrieb
..6.2 RungeKuttaIntegrator
..6.3 Gradientenverfahren
7 Einstellregeln
..7.1 Totzeit
..7.2 Methode1
..7.3 Methode2
..7.4 Scilab
..7.5 Daempfungsgrad
..7.6 Uebung
8 Polvorgabe
9 Beobachter
10 AutonomerHackenprosche
..10.1 Herleitung
..10.2 Scilab
..10.3 Modellerweiterung
..10.4 Scilab
..10.5 Modellgueltigkeit
..10.6 java
11 Stabilitaet
..11.1 Beispiele
..11.2 Nyqusitkriterium
..11.3 Windup
..11.4 Bode
12 Adaptiv
..12.1 Definition
..12.2 Einachser
..12.3 Auswertung
..12.4 Identifikation
..12.5 Regleroptimierung
..12.6 Zustandsregler
..12.7 Beobachter
13 Analyse
..13.1 Linear
..13.2 Nichtlinear
14 Kalmanfilter
15 Ue_04_2014
..15.1 Geschwindigkeit
..15.2 Richtung
..15.3 Gesamtsystem
..15.4 RiccatiUSW
..15.5 TdOT
16 Inverses_Pendel
17 Einachser
..17.1 Mechanik
..17.2 Uebung8
18 Fuzzy
..18.1 Fuzzylogik
..18.2 FuzzyRegler
..18.3 Uebung9
..18.5 Softwareentwicklung
....18.5.1 AgileSoftwareentwicklung
....18.5.2 FuzzyRegler
....18.5.3 Uebung
..18.6 Umsetzung
....18.6.1 FuzzyRegler
....18.6.2 Simulation
....18.6.3 Optimierung
....18.6.4 Uebung
..18.7 Haengependel
....18.7.1 Haengependel
....18.7.2 Simulation
....18.7.3 FuzzyRegler
....18.7.4 Optimierer
....18.7.5 Genetisch
..18.8 Information
..18.9 Energie
21 Beispiel1
98 day_by_day_WS2021_SoSe21
99 day_by_day_SoSe2018
kramann.info
© Guido Kramann

Login: Passwort:




Stabilitaet von Regelsystemen

Wann weist ein dynamisches System ein stabiles Übertragungsverhalten auf?

  • Grundsätzlich ist ein dynamisches System stabil, wenn es für einen beliebigen Zeitverlauf eines begrenzten Eingangs auch einen begrenzten Ausgang liefert.
Instabiles und stabiles Übertragungsverhalten bei einem dynamischen System.

Bild 0-1: Instabiles und stabiles Übertragungsverhalten bei einem dynamischen System.

Lineare und nicht lineare Systeme

  • Lineare dynmaische Systeme lassen sich als lineare Differentialgleichungssysteme beschreiben, oder alternativ durch Übertragungsglieder G(s)=Z(s)/N(s) mit einem Zählerpolynom Z(s) und einem Nennerpolynom N(s).
  • Sowohl Nichtlinearitäten bei dem verwendeten Regler, als auch nichtlineare Eigenschaften der Regelstrecke führen zu einem nichtlinearen Verhalten eines Regelkreises.
  • Schon das Vorhandensein eines Totzeitgliedes, macht ein dynamisches System nichtlinear.
  • Schon das Vorhandensein eines Totzeitgliedes macht es damit unmöglich, die Stabilität des Systems aus der Lage der Eigenwerte zu schließen.
  • Damit auch bei einem System mit linearem Übertragungsverhalten G(s)=Z(s)/N(s) der Ausgang nicht über alle Maßen wachsen kann, es also instabil ist, muß zunächst einmal der Zählergrad m kleiner oder gleich dem Nennergrad n sein.
  • Lineare Systeme mit m<=n sind (asymptotisch) stabil, wenn die Realteile aller ihrer Eigenwerte/Polstellen negativ sind, d.h. in der linken s-Halbebene liegen.
  • Lineare Systeme mit m<=n sind grenzstabil, wenn keine Polstellen des charakteristischen Polynoms in der rechten s-Halbebene liegen, aber ein oder mehrere einfache Pole genau auf der imaginären Achse liegen.
  • Lineare Systeme mit m<=n sind instabil, wenn mindestens eine mehrfache Polstelle des charakteristischen Polynoms auf der imaginären Achse liegt, oder mindestens ein Pol in der rechten s-Halbebene liegt.
  • Diese Angaben zeigen, dass es nicht notwendig ist, alle Pole einer linearen Übertragungsfunktion zu kennen, um auf deren Stabilität zu schließen.
  • Nur die am weitesten rechts liegenden Pole, die sogenannten dominanten Pole, bestimmen das Stabilitätsverhalten.
  • Bei nichtlinearen Übertragungsfunktionen ist zudem die Bestimmung der Polstellen als Methode zur Feststellung der Stabilität des Übertragungsverhaltens gar nicht anwendbar.
  • Es existieren aber eine Reihe einfacher anzuwendender Methoden, um die Stabilität eines Übertragungsverhaltens beurteilen zu können.
  • Man kann weitergehend unterscheiden, ob ein dynamisches System für ein konstantes und oder für ein periodisches Eingangssignal stabil ist.
  • D.h. man kann unterscheiden, ob das System statisch und/oder dynamisch stabil ist.
  • Bei der Verwendung von Stabilitätskriterien ist zu beachten, ob ein Kriterium nur für lineare Systeme gilt, oder auch für nicht lineare.
  • In den folgenden Unterkapiteln wird eine kleine Auswahl an Kriterien für statische und dynamische Stabilität sowohl für lineare, als auch für nicht lineare Systeme gegeben.
Aufgabe
  • Erfinden Sie lineare Übertragungsglieder, mit denen alle qualitativ möglichen Fälle für stabiles, grenzstabiles und instabiles Verhalten abgedeckt werden.
  • Zeichnen Sie jeweils die Polstellen in der komplexen Ebene ein.

Statische Stabilität

  • Ein dynamisches System wird in einen beliebigen Anfangszustand versetzt und dann sich selbst überlassen.
  • Bei einem geregelten System erhält dabei die Führungsgröße einen konstanten Wert.
  • Strebt dann der Systemzustand einem Grenzwert entgegen, so ist das System statisch stabil.
  • Bei linearen Systemen haben wir diesen Grenzwert bereits als stationären Zustand des Systems kennengelernt.
  • Er wird bestimmt, indem man die zeitlichen Ableitungen der zugehörigen Systemgleichungen zu Null setzt.
  • Bei nicht linearen Systemen kann es mehrere Grenzwerte, oder statt dessen auch Grenzzyklen geben.
  • In einen Grenzzyklus ist ein dynamisches System übergegangen, wenn es ein begrenztes Zustandsgebiet nicht mehr verläßt und sich hierin der Zustand zyklisch verändert.

Dynamische Stabilität

  • Wird ein lineares System am Eingang mit einer periodischen Funktion u(t)=A*sin(ωt) beaufschlagt, so liefert der Ausgang nach dem Einschwingvorgang eine Sinusfunktion gleicher Frequenz, jedoch mit anderer Amplitude B und einer Phasenverschiebung φ: y(t)=B*sin(ωt+φ).
  • Klingt die Ausgangsschwingung für beliebige ω ab, oder bleibt sie in der Amplitude konstant, so ist das System dynamisch stabil.