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© Guido Kramann

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12.2 Analyse des Übertragungsverhaltens eines einachsigen Vehikels

12.2 Analysis of the transmission behavior of a uniaxial vehicle (EN google-translate)

12.2 Analiza zachowania transmisyjnego pojazdu jednoosiowego (PL google-translate)

Vor dem Hintergrund der Ausführungen im vorangehenden Unterkapitel soll ein erneuter Versuch unternommen werden, ein Modell für den Einachser zu identifizieren.

Against the background of the remarks in the previous subchapter a new attempt is made to identify a model for the single-axle vehicle.

Na tle uwag z poprzedniego podrozdziału podjęto nową próbę identyfikacji modelu pojazdu jednoosiowego.

Grundidee:

Basic idea:

Podstawowa idea:

  1. Es wird ein halbwegs brauchbarer bereits vorhandener Regler genutzt, um das System in der Nähe des ausgeregelten Zustands zu halten.
  2. Während der Regelung werden der Kippwinkel φ, das PWM-Stellsignal und die jeweils aktuelle Zeitschrittweite Δt in Arrays aufgezeichnet und anschließend seriell an den PC übertragen.
  3. Die Verläufe werden dann in Scilab durch Neu-Interpolation etwas geglättet und die notwendigen Zustandsgrößen gebildet.
  4. Mittels der Methode der kleinsten Quadrate wird das System identifiziert.

Hilfestellungen

assistance

pomoc

MPU6050_DMP6.zip - Selbst-tunender Regler von TEAM GELB (Tag der Offenen Tür 29.5., Gruppe Böckenkamp)
einachser_isr2_003_anfahren.zip - Arbeitsgrundlage (Versuch einer übersichtlichen Code-Strukturierung)
Hinweis: Bitte INT auf MPU6050 mit digitalem Ausgang 0 (entspricht RX bzw. INT2) auf Arduino-Micro verbinden, damit obige Projekte korrekt arbeiten.
Note: Please connect INT to MPU6050 with digital output 0 (corresponds to RX or INT2) on Arduino-Micro for the above projects to work correctly.
Uwaga: Proszę połączyć INT z MPU6050 z wyjściem cyfrowym 0 (odpowiada RX lub INT2) na Arduino-Micro, aby powyższe projekty działały poprawnie.
Hinweis: Um die seriellen Daten zu bekommen, ohne während der Regelung eine Kabelverbindung zum PC zu haben, kann Seriell1 (TX) verwendet werden:
Note: In order to get the serial data without having a cable connection to the PC during control, Serial1 (TX) can be used:
Uwaga: Aby uzyskać dane szeregowe bez konieczności podłączania kabli do komputera podczas sterowania, można użyć Serial1 (TX):
seriell_weiterleiten.zip
einachser_sprung005_SERIELL.zip

Warum bekommen wir Informationen über die Regelstrecke, obwohl ein geregeltes Gesamtsystem vorliegt?

Why do we get information about the controlled system, even though there is a regulated overall system?

Dlaczego otrzymujemy informacje na temat kontrolowanego systemu, mimo że istnieje regulowany ogólny system?

Antwort.

Bild 12.2-1: Antwort.

Ausgangssystem

output system

układ wyjściowy

Geschätzte Struktur der Systemmatrix der Regelstrecke.

Bild 12.2-2: Geschätzte Struktur der Systemmatrix der Regelstrecke.

Algebraische Gleichung für LSQ

Algebraic equation for LSQ

Równanie algebraiczne dla LSQ

$ \dot \alpha = p \cdot \omega + q \cdot \alpha + r \cdot pwm $

Formel 12.2-1: Algebraische Gleichung für LSQ


$ a= \frac {1}{r} & b=-q \cdot a & c=-p \cdot a $

Formel 12.2-2: Umrechnungen


Numerische zeitliche Ableitungen

Numerical time derivatives

Numeryczne pochodne czasowe

Um möglichst gute Näherungen an den benötigten abgeleiteten Größen zu erhalten, bietet es sich an, s.g. zentrale Ableitungen zu verwenden:

In order to get the best possible approximation of the required derived quantities, it makes sense to s.g. to use central derivative

Aby uzyskać najlepsze możliwe przybliżenie wymaganych ilości pochodnych, ma to sens d = korzystać z centralnych instrumentów pochodnyc

$ \omega _k = \frac { \phi _\left(k+1\right) - \phi _\left(k-1\right)}{2 \Delta t} $

Formel 12.2-3: Numerische Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit


$ \alpha _k = \frac { \phi _\left(k+1\right) - 2 \phi _k + \phi _\left(k-1\right)}{ \Delta t ^2} $

Formel 12.2-4: Numerische Bestimmung der Winkelbeschleunigung


$ \dot \alpha _k = \frac { \phi _\left(k+2\right) - 2 \phi _\left(k+1\right) + 2 \phi _\left(k-1\right) - \phi _\left(k-2\right)}{2 \Delta t ^3} $

Formel 12.2-5: Numerische Bestimmung der zeitlichen Ableitung der Winkelbeschleunigung


Aufbereiten der Meßwerte mit Scilab

Preparing the measured values ​​with Scilab

Przygotowanie zmierzonych wartości za pomocą Scilaba

Mittels der Funktion interp1 läßt sich ein zeitlicher Verlauf mit unregelmäßigen Zeitschritten auf einen mit regelmäßigen mappen.

By means of the function interp1 can be a time course with irregular time steps on one with regular map.

Za pomocą funkcji interp1 może być kurs czasowy z nieregularne kroki czasowe na jednym z regularną mapą.

Durch Wahl einer größeren Schrittweite als in der Ausgangsfolge, erhält man eine geglättete Kurve.

By selecting a larger step size than in the starting sequence, you get a smoothed curve.

Wybierając większy rozmiar kroku niż w sekwencji początkowej, otrzymujesz wygładzoną krzywą.

t=[0,2,5,7,8,10,13,17,19,20]
y=[1,3,6,9,4,11,13,15,21,22]
tneu=[0,5,10,15,20]
yneu=interp1(t,y,tneu);

Code 12.2-1: Scilab-Beispiel zu interp1.

Weiterführende Gedanken

Further thoughts

Dalsze przemyślenia

Euler Rückwärts

Euler backwards

Euler do tyłu

Für die spätere Simulation des Beobachters im Zustandsregler mit Beobachter wäre die Verwendung des impliziten Euler-Verfahrens von Vorteil

For the later simulation of the observer in the state controller with observer Using the implicit Euler method would be beneficial

Do późniejszej symulacji obserwatora w kontrolerze stanu z obserwatorem Używanie niejawnej metody Eulera byłoby korzystne

Vergleich des Verfahrens gegenüber dem expliziten Eulerverfahren

Comparison of the method versus the explicit Euler method

Porównanie metody w stosunku do jawnej metody Eulera

  • bessere Stabilität unabhängig von der Schrittweite &Delta t gegenüber dem expliziten Verfahren.
  • Im Allgemeinen muß beim impliziten Euler-Verfahren bei jedem Iteratiosschritt ein Gleichungssystem gelöst werden (jedoch nicht in unserem Fall).

$ \dot \vec y = A \vec y + B \vec u $

Formel 12.2-6: Lineares dynamisches System mit Stellsignal\left(en\right) im Zeitbereich.


$ \vec y_\left(k+1\right) = \vec y_k+\left(A \vec y_k + B \vec u_k\right) \Delta t $

Formel 12.2-7: Explizites Eulerverfahren für ein LDGLs erster Ordnung


$ \vec y_\left(k+1\right) = \vec y_k+\left(A \vec y_\left(k+1\right) + B \vec u_k\right) \Delta t $

Formel 12.2-8: Implizites Eulerverfahren für ein LDGLs erster Ordnung & bzw. Euler Rückwärts.


$ E \cdot \vec y_\left(k+1\right) - A \cdot \vec y_\left(k+1\right) \cdot \Delta t = \vec y_k+B \cdot \vec u_k \cdot \Delta t $

Formel 12.2-9: Implizites Eulerverfahren umgeformt


$ \left(E-A \cdot \Delta t\right) \cdot \vec y_\left(k+1\right) = \vec y_k+B \cdot \vec u_k \cdot \Delta t $

Formel 12.2-10: Implizites Eulerverfahren weiter umgeformt


$ \vec y_\left(k+1\right) = \left(E-A \cdot \Delta t\right)^\left(-1\right) \cdot \left( \vec y_k+B \cdot \vec u_k \cdot \Delta t\right) $

Formel 12.2-11: Implizites Eulerverfahren noch weiter umgeformt


Rein diskret betrachtetes Gesamtsystem (Gedächtnisstütze - noch in Arbeit / ev. Fehler behaftet)

Discretely considered overall system (reminder - still in work / possibly faulty)

Dyskretnie rozważany cały system (przypomnienie - wciąż w pracy / prawdopodobnie wadliwe)

Eine alternative Variante wäre es einen rein diskreten Zustandsregler aufzubauen:

An alternative variant would be to build a purely discrete state controller:

Alternatywnym wariantem byłoby zbudowanie czysto dyskretnego kontrolera stanu:

$ y_\left(k+1\right) = a_0 \cdot y_\left(k\right) + a_1 \cdot y_\left(k-1\right) + a_2 \cdot y_\left(k-2\right) + ... + b_0 \cdot u_\left(k\right) + b_1 \cdot u_\left(k-1\right) + b_2 \cdot u_\left(k-2\right) + ... $

Formel 12.2-12: Diskretes Modell der Regelstrecke.


$ u_\left(k\right) = r_0 \cdot y_\left(k\right) + r_1 \cdot y_\left(k-1\right) + r_2 \cdot y_\left(k-2\right) + ... $

Formel 12.2-13: Diskreter Regler.


  • a0..an ließe sich auf Grundlage der gleichen Meßdaten wie oben über LSQ bestimmen.
  • r0..rn ließe sich mit den bereits erarbeiteten Optimierungsverfahren bestimmen.
Übung
exercise
ćwiczenie

Aufgabe 1

Task 1

Zadanie 1

loesung_aufg_12_2.zip - Teillösung bzw. Lösungsüberprüfung zu Aufgabe 1.
loesung_aufg_12_2_neu.zip - mit Lösung zu 7).

Gegeben ist folgendes PT2-Übertragungsglied:

Given is the following PT2 transfer element:

Podano następujący element transferu PT2:

$ G\left(s\right) = \frac {1}{s^2 + 4} $

Formel 12.2-14: Übertragungsglied.


1) Bestimmen Sie die zugehörige Systemmatrix im Zeitbereich.

1) Determine the associated system matrix in the time domain.

1) Określ powiązaną macierz systemową w dziedzinie czasu.

Das System soll mit Hilfe eines Zustandsreglers mit Beobachter ausgeregelt werden. Die Implementierung soll mit Hilfe des impliziten Eulerverfahrens erfolgen.

The system should be adjusted with the help of a state controller with observer. The implementation should be done using the implicit Euler method.

System powinien być regulowany za pomocą kontrolera stanu z obserwatorem. Wdrożenie powinno odbywać się przy użyciu niejawnej metody Eulera.

2) Bereiten dies vor, indem Sie die Matrix...

2) Prepare this by using the matrix ...

2) Przygotuj to za pomocą macierzy ...

$ Q=\left(E-A \cdot \Delta t\right)^\left(-1\right) $

Formel 12.2-15: ...von Hand bestimmen. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit einer entsprechenden Berechnung in Scilab.


Dabei soll Δt der Einfachheit halber 1 Sekunde sein.

It should

Powinno

3) Geben Sie die Eigenwerte des Systems an.

3) Specify the eigenvalues ​​of the system.

3) Określ wartości własne systemu.

4) Geben die Gleichungen an, die das System samt Zustandsregler repräsentieren.

4) Give the equations that represent the system and its state controller.

4) Podaj równania, które reprezentują system i jego kontroler stanu.

5) Legen Sie den Zustandsregler so aus, dass die Eigenwerte des Gesamtsystems als doppelte reelle Postelle bei -4 liegen. Geben Sie die zugehörige Regelmatrix R an.

5) Define the state controller so that the eigenvalues ​​of the overall system lie as a double real postelle at -4. Enter the associated rule matrix R.

5) Zdefiniuj kontroler stanu tak, aby wartości własne całego systemu leżały jak podwójne prawdziwe postelle przy -4. Wprowadź skojarzoną macierz reguł R.

6) Nun soll das entstandene Gesamtsystem für die numerische Integration mittels des impliziten Eulerverfahrens vorbereitet werden. Bestimmen Sie auch für das Gesamtübertragungsverhalten die Matrix Q von Hand (vergl. Punkt 2). Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit einer entsprechenden Berechnung in Scilab.

6) Now the resulting whole system for the numerical integration by means of the implicit Euler method is to be prepared. Also determine the matrix Q by hand for the overall transmission behavior (see point 2). Compare your result with a corresponding calculation in Scilab.

6) Teraz należy przygotować powstały cały system do numerycznej integracji za pomocą niejawnej metody Eulera. Należy również ręcznie określić matrycę Q dla ogólnego zachowania transmisji (patrz punkt 2). Porównaj swój wynik z odpowiednimi obliczeniami w Scilab.

7) Formulieren Sie den Zustandsregler mit Beobachter in Scilab. Verwenden Sie ein Modell als reales System und eines als Beobachter. Beaufschlagen Sie in der Gesamtdarstellung den x-Anteil des realen y=[x,v] dort, wo es mit L*(y-ysim) im Simulationsteil verwendet wird mit einem normalverteilten Rauschen und leiten diesen Wert numerisch ab, um v für die gleiche Stelle zu erhalten, Mittelwert 0, Streuung 0.2. Die Bedeutung hiervon ist, dass die für die Regelung verwendeten Meßwerte für den Systemzustand y nie ganz genau sind. Formulieren Sie das fiktiv simulierte System als Euler-Vorwärts-Simulation mit einer Schrittweite von 0.01s.

7) Formulate the state controller with observer in Scilab. Use one model as a real system and one as Observer. In the overall representation, apply the x-part of the real y = [x, v] where it is used with L * (y-ysim) in the simulation part with a normal distributed noise and derive this value numerically to v for the sam The meaning of this is that the system state y measurements used for control are never quite accurate. Formulate the fictitiously simulated system as an Euler forward simulation with a step size of 0.01s.

7) Sformułowanie kontrolera stanu z obserwatorem w Scilab. Użyj jednego modelu jako prawdziwego systemu i jednego ja Obserwatorów. W ogólnej reprezentacji zastosuj x-część rzeczywistego y = [x, v], gdzie jest używana z L * (y-ysim) w części symulacji z normalnym szumem rozproszonym i wyprowadzaj tę wartość liczbowo na v dla tego sameg Znaczenie tego jest takie, że pomiary stanu systemu używane do sterowania nigdy nie są dość dokładne. Sformułuj fikcyjnie symulowany system jako symulację Eulera z krokiem 0,01 s.

8) Untersuchen Sie qualitativ den Einfluß der Störung auf das Gesamtverhalten und den Einfluß der Parameter der Matrix LL. Untersuchen Sie den Unterschied im Regelungsverhalten, wenn der Beobachter ausgeschaltet wird und der rekonstruierte (verrauschte) Systemzustand zur Zustandsregelung verwendet wird.

8) Investigate qualitatively the influence of the disturbance on the overall behavior and the influence of the parameters of the matrix LL. Examine the difference in control behavior when the observer is turned off and the reconstructed (noisy) system state is used for state control.

8) Badanie jakościowe wpływu zakłócenia na ogólne zachowanie i wpływ parametrów macierzy LL. Zbadaj różnicę w zachowaniu sterowania, gdy obserwator jest wyłączony, a zrekonstruowany (szumiący) stan systemu jest używany do kontroli stanu.

9) Wandeln Sie den Simulationsteil nun so weit wie denkbar möglich in eine Simulation mit dem impliziten Eulerverfahren um. Vergleichen Sie die hiermit gewonnenen Ergebnisse mit denen aus 7) und 8).

9) Convert the simulation part as far as possible into a simulation with the implicit Euler method. Compare the results obtained with those of 7) and 8).

9) Konwertuj część symulacji jak najdalej do symulacji za pomocą ukrytej metody Eulera. Porównaj uzyskane wyniki z tymi z 7) i 8).

10) Untersuchen Sie den Einfluß der Schwingungsfähigkeit des geregelten Systems auf die Güte der Integrationen mit Euler und implizitem Eulerverfahren. Wählen Sie dazu r1 in der Regelmatrix R so, dass sich für das Gesamtsystem Eigenwerte bei -4+4i und -4-4i ergeben.

10) Investigate the influence of the vibrational capability of the controlled system on the quality of the integrations with Euler and implicit Euler method. To do this, select r1 in the rule matrix R so that t Total system returned eigenvalues ​​at -4 4i and -4-4i.

10) Zbadaj wpływ zdolności oscylacyjnej kontrolowanego systemu na jakość integracji z Eulerem i niejawną metodą Eulera. Aby to zrobić, wybierz r1 w macierzy R reguł, tak a Całkowity system podaje wartości własne w -4 4i i -4-4i.


Aufgabe 2

exercise 2

Zadanie 2

Walze.

Bild 12.2-3: Walze.

Eine homogene Walze rollt ideal auf einer Ebene ab und wird von einer Feder gehalten.

A homogeneous roller rolls ideally on a plane and is held by a spring.

Jednorodny wałek idealnie toczy się po płaszczyźnie i jest utrzymywany przez sprężynę.

Zu Beginn für φ=0 liegen das Körper-Koordinatensystem und das Raumkoordinatensystem ineinander. Das Körper-eigene Koordinatensystem liegt im Mittelpunkt der Walze und dreht mit.

At the beginning for The body-own coordinate system is in the center of the roller and rotates with.

Na początek dla Własny układ współrzędnych znajduje się na środku rolki i obraca się z nim.

Gegebene Parameter:

Given parameters:

Podane parametry:

R=1m
m=3kg
C=2N/m

Code 12.2-2: Parameter.

Teil 1 - Systemdynamik

Part 1 - System Dynamics

Część 1 - Dynamika systemu

  1. Berechnen Sie das Masseträgheitsmoment der Walze bzgl. des Schwerpunktes um die Rollachse.
  2. Geben Sie die Koordinaten des Walzenmittelpunktes = Walzenschwerpunkt in Abhängigkeit von φ im raumfesten Koordinatensystem an.
  3. Schneiden Sie das System frei und tragen alle wirksamen Kräfte ein.
  4. Formulieren Sie die Newton-Euler-Gleichungen für das System.
  5. Formulieren Sie die Simulationsgleichungen zu der Eulergleichung und setzen diese in Scilab um.
  6. Simulieren Sie das System mit Scilab für die Anfangsbedingungen φ(t=0s)=10rad und ω(t=0s)=0rad/s.

Teil 2 - Zustandsregler

Part 2 - state controller

Część 2 - kontroler stanu

Das System soll mit Hilfe eines Moments M, das im Schwerpunkt angreift ausgeregelt werden. Die entsprechende Stellgröße liefert ein Zustandsregler mit Beobachter.

The system should be corrected by means of a moment M, which attacks in the center of gravity. The corresponding manipulated variable is supplied by a state controller with observer.

System należy skorygować za pomocą momentu M, który atakuje w środku ciężkości. Odpowiednia zmanipulowana zmienna jest dostarczana przez kontroler stanu z obserwatorem.

  1. Formulieren Sie das Gesamtsystem in Scilab. Als Systemzustand soll ein verrauschtes φ zur Verfügung stehen. Die anderen Systemzustände sollen aus φ numerisch rekonstruiert werden.
  2. Legen Sie den Zustandsregler mit ppol so aus, dass sich Eigenwerte beim Gesamtübertragungsverhalten bei -1+i und -1-i ergeben. Was ergibt sich für R = [r1,r2]? Vollziehen Sie die Bestimmung auch von Hand durch.
  3. Verlegen Sie die Eigenwerte des Gesamtsystems so, dass das System nach 1s weitestgehend ausgeregelt ist.
  4. Entwickeln Sie einen Regler mit Beobachter für das System.