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10.3 Modellerweiterung des autonomen Hackenporsche mit Radeigenschaften

10.3 Model extension of the autonomous Hackenporsche with wheel characteristics (EN google-translate)

10.3 Modelowe rozszerzenie autonomicznego Hackenporsche o charakterystykę koła (PL google-translate)

Die kombinierte Regelung von Vorwärtsantrieb und Lenkung hat sich als schwierig erwiesen. Andererseits ist das bisher verwendete Modell auch recht unrealistisch. Um dies zu ändern, wird die Eigenschaft der Räder mit berücksichtigt.

The combined control of forward drive and steering has proven to be difficult. On the other hand, the model used so far is also quite unrealistic. To change this, the property of the wheels is taken into account.

Połączona kontrola jazdy do przodu i sterowania okazała się trudna. Z drugiej strony model stosowany do tej pory jest również dość nierealistyczny. Aby to zmienić, bierze się pod uwagę właściwość kół.

Ausgangspunkt ist ein Dreirad mit Antrieb im einzelnen Vorderrad. Jedoch lassen sich im ebenen Modell die Hinterräder zu einem zusammenfassen.

Starting point is a tricycle with drive in the single front wheel. However, in the plane model, the rear wheels can be combined into one.

Punktem startowym jest trójkołowy z napędem w pojedynczym przednim kole. Jednak w modelu samolotu tylne koła można połączyć w jedno.

Von der Masseträgheit der Räder wird abgesehen.

From the inertia of the wheels is omitted.

Od bezwładności kół jest pomijany.

Lediglich die Eigenschaft nicht gleitender Räder, dass sie alle Kräfte senkrecht zur Laufrichtung kompensieren wird in Form von Zwangskräften berücksichtigt.

Only the property of non-sliding wheels, that they all forces perpendicular to the direction compensate is taken into account in the form of compulsory forces.

Tylko własność kół nieślizgających się, że wszystkie one działają prostopadle do kierunku odszkodowanie jest brane pod uwagę w postaci sił przymusowych.

Folgendes Schaubild illustriert die Struktur des Modells und legt gleich die in der Modellherleitung zu verwendenden Bezeichnungen fest:

The following diagram illustrates the structure of the model and sets the same in the model derivation names to be used:

Poniższy diagram ilustruje strukturę modelu i ustawia go w wyprowadzeniu modelu nazwy do zastosowania:

Schaubild zur Modellerweiterung des autonomen Hackenporsche mit Radeigenschaften.

Bild 10.3-1: Schaubild zur Modellerweiterung des autonomen Hackenporsche mit Radeigenschaften.

Symbol Bedeutung
S Schwerpunkt
H zusammengefaßte Hinterachse / Hinterrad
P Vorderrad / Antriebsrad
Q Momentanpol
Ω Winkelgeschwindigkeit im Momentanpol
b Abstand zwischen S und H,sowie S und P
FH Zwangskraft Hinterrad
FRH Reibkraft Hinterrad (Lineare Dämpfung)
FP Zwangskraft Vorderrad
FRP Reibkraft Vorderrad (Lineare Dämpfung)
FA Antriebskraft Vorderrad
β Lenkwinkel
φ Verdrehung des Fahrzeugkoordinatensystems gegenüber dem Inertialkoordinatensystem
[x,y] Schwerpunktkoordinaten (ohne Indices)
m Fahrzeugmasse
J Hauptmasseträgheitsmoment des Fahrzeugs bzgl. des Schwerpunktes um die Z-Achse.

Tabelle 10.3-1: Erläuterung der im Schaubild verwendeten Symbole.

Herleitung
derivation
pochodzenie

Tip: Arbeiten Sie stets vektoriell und nicht mit der Ebenengeometrie.


Die Herleitung erfolgt in fünf Schritten und wird in der Vorlesung und der Übung durchgeführt.

The derivation takes place in five steps and is carried out in the lecture and the exercise.

Wyprowadzenie odbywa się w pięciu krokach i odbywa się w wykładzie i ćwiczeniu.

0. Nützliche Beziehungen

0. Useful relationships

0. Przydatne relacje

$ T=\left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right] $

Formel 10.3-1: Transformationsmatrix für die Drehung von I' \\ nach I.


$ \vec o _P ^I = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T \vec o _P ^{I ^{\prime} } $

Formel 10.3-2: Transformation eines Punktes vom Körpersystem in das Inertialkoordinatensystem.


$ \vec o _P ^{I ^{\prime} } = T ^{\prime} \left( \vec o _P ^I - \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]\right) $

Formel 10.3-3: Transformation eines Punktes vom Inertialkoordinatensystem in das Körpersystem.


$ \frac {d}{dx}{ \tan \left(x\right)}= \frac {1}{ \cos ^2 x} = 1+ \tan ^2 x \\ $

Formel 10.3-4: Ableitung von Tangens nach x.


$ \frac {d}{dx}{cot\left(x\right)}= - \frac {1}{ \sin ^2 x} = -1-cot ^2 x \\ $

Formel 10.3-5: Ableitung von Co \tan gens nach x.


Schaubild zur Beziehung zwischen Kreisgeschwindigkeit und Winkeleschwindigkeit.

Bild 10.3-2: Schaubild zur Beziehung zwischen Kreisgeschwindigkeit und Winkeleschwindigkeit.

$ \vec \omega = \vec r x \vec v $

Formel 10.3-6: Vektor der Winkelgeschwindigkeit errechnen.


$ \vec v = \vec \omega x \vec r $

Formel 10.3-7: Vektor der Kreisgeschwindigkeit errechnen.


$ \Omega = \dot \phi $

Formel 10.3-8: Winkelgeschwindigkeit des Momen \tan pols entspricht Winkelgeschwindigkeit des Schwerpunktes.



Übung: Beweisen Sie, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren jeweils das gleiche Ergebnis liefert, unabhängig davon, ob die Berechnung im Inertial- oder im Körpersystem durchgeführt wird.


$ \vec u ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}a \\ b\end{array}\right] \vec v ^{\prime} =\left[\begin{array}{cc}c \\ d\end{array}\right] $

Formel 10.3-9: Zwei allgemeine Vektoren im Körperkoordinatensystem definieren.


$ u ^{\prime} x v ^{\prime} = ad-bc $

Formel 10.3-10: Deren Kreuzprodukt bilden.


$ \left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a \\ b\end{array}\right] x \left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}c \\ d\end{array}\right]=ad-bc $

Formel 10.3-11: Beide Vektoren in das Inertialkoordinatensystem transformieren und hier auch das Kreuzprodukt bilden.


1. Kinematik: Bestimmung der ausgezeichneten Punkte im Inertialkoordinatensystem

1. Kinematics: Determination of the points awarded in the inertial coordinate system

1. Kinematyka: określanie punktów przyznawanych w bezwładnościowym układzie współrzędnych

$ \vec o _S = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] $

Formel 10.3-12: Schwerpunkt im Intertialkoordinatensystem.


$ \vec o _H = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T\left[\begin{array}{cc}-b \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.3-13: H \int erachspunkt H im Intertialkoordinatensystem.


$ \vec o _P = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T\left[\begin{array}{cc}b \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.3-14: Vorderachspunkt P im Intertialkoordinatensystem.


$ \left[\begin{array}{cc}-b \\ 0\end{array}\right] + a\left[\begin{array}{cc}0 \\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}b \\ 0\end{array}\right] + c\left[\begin{array}{cc}- \sin \beta \\ \cos \beta \end{array}\right] $

Formel 10.3-15: Bestimmungsgleichung für den Momen \tan pol im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ a = \frac {2b \cos \beta }{ \sin \beta } $

Formel 10.3-16: Lösung für a.


$ c = \frac {2b}{ \sin \beta } $

Formel 10.3-17: Lösung für c.


$ o _Q ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}-b \\ \frac {2b \cos \beta }{ \sin \beta } \end{array}\right] $

Formel 10.3-18: Momen \tan pol im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ o _Q = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T o _Q ^{\prime} $

Formel 10.3-19: Momen \tan pol im Inertialkoordinatensystem.


2. Darstellung der Zwangs- und Reibkräfte

2. Representation of forced and friction forces

2. Reprezentacja sił wymuszonych i sił tarcia

$ \vec F _H ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}0 \\ F _H \end{array}\right] $

Formel 10.3-20: Zwangskraft F H im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ \vec F _H= \left[\begin{array}{cc} - F _H \sin \phi \\ F _H \cos \phi \end{array}\right] $

Formel 10.3-21: Zwangskraft F H im Inertialkoordinatensystem


$ \vec F _P ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc} - F _P \sin \beta \\ F _P \cos \beta \end{array}\right] $

Formel 10.3-22: Zwangskraft F H im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ \vec F _P= T \vec F _P ^{\prime} $

Formel 10.3-23: Zwangskraft F H im Inertialkoordinatensystem


$ \vec F _{RH} ^{\prime} = -D \vec \omega x \vec r _{QH} ^{\prime} = -D \left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right] x \left[\begin{array}{cc} 0 \\ - 2b \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 0\end{array}\right] = -D\left[\begin{array}{cc}2b \dot \phi \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 0 \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.3-24: Bestimmung der Reibkraft im Punkt H im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ \vec F _{RP} ^{\prime} = -D \vec \omega x \vec r _{QP} ^{\prime} = -D \left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right] x \left[\begin{array}{cc} 2b \\ -2b \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 0\end{array}\right]=-D\left[\begin{array}{cc}2b \dot \phi \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 2b \dot \phi \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.3-25: Bestimmung der Reibkraft im Punkt H im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ \vec F _A = \left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \beta & - \sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}F _A \\ 0\end{array}\right] = F _A \left[\begin{array}{cc} \cos \beta \cos \phi - \sin \beta \sin \phi \\ \cos \beta \sin \phi + \sin \beta \cos \phi \end{array}\right] $

Formel 10.3-26: Vektor der Antriebskraft im Inertialkoordinatensystem.


3. Aufstellen der Newton-Euler-Gleichungen

3. Set up the Newton-Euler equations

3. Skonfiguruj równania Newtona-Eulera

$ m \left[\begin{array}{cc} \ddot x \\ \ddot y\end{array}\right] = \vec F _A + \vec F _H + \vec F _P + \vec F _{RH} + \vec F _{RP} $

Formel 10.3-27: Newton-Gleichung in x-Richtung.


$ J \ddot \phi = \vec r _{SH} ^{\prime} x \vec F _H ^{\prime} + \vec r _{SP} ^{\prime} x \left( \vec F _A ^{\prime} + \vec F _P ^{\prime} + \vec F _{RP} ^{\prime} \right) $

Formel 10.3-28: Eulergleichung im Inertialkoordinatensystem unter Ausnutzung der Tatsache & dass Kreuzprodukte im Körpersystem identisch mit denen im Inertialsystem \sin d.


4. Aufstellen der Zwangsbedingungen

4. Establish the constraints

4. Ustal ograniczenia

  • 1. Schritt: Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Schwerpunktgeschwindigkeit herstellen:

$ \left[\begin{array}{cc}\dot x \\ \dot y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right]x\left(T \left(- \vec o _Q ^{\prime} \right)\right) $

Formel 10.3-29: Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Schwerpunktgeschwindigkeit


  • 2. Schritt: Zeitliche Ableitung, um es in die linke Seite der Newton-Gleichungen einsetzen zu können:

$ \left[\begin{array}{cc}\ddot x \\ \ddot y\end{array}\right] = \frac {d}{dt} \left(\left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right]x\left(T \left(- \vec o _Q ^{\prime} \right)\right)\right) $

Formel 10.3-30: Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Schwerpunktgeschwindigkeit


5. Herleiten der Bestimmungsgleichungen für die Zwangskräfte

5. Derive the determinative equations for the constraining forces

5. Wyprowadź determinujące równania dla sił ograniczających

  • 3. Schritt Ersetzen der Winkelbeschleunigung durch die rechte Seite der Eulergleichung, dann Bestimmen der Zwangskräfte FH und FP.

6. Untersuchung des Übergangs zwischen Kurven- und Geradeausfahrt

6. Investigation of the transition between turning and straight ahead

6. Badanie przejścia między zakrętami i na wprost