Modellerweiterung des autonomen Hackenporsche mit Radeigenschaften
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Die kombinierte Regelung von Vorwärtsantrieb und Lenkung hat sich als schwierig erwiesen. Andererseits ist das bisher verwendete Modell auch recht unrealistisch. Um dies zu ändern, wird die Eigenschaft der Räder mit berücksichtigt.
Ausgangspunkt ist ein Dreirad mit Antrieb im einzelnen Vorderrad. Jedoch lassen sich im ebenen Modell die Hinterräder zu einem zusammenfassen.
Von der Masseträgheit der Räder wird abgesehen.
Lediglich die Eigenschaft nicht gleitender Räder, dass sie alle Kräfte senkrecht zur Laufrichtung kompensieren wird in Form von Zwangskräften berücksichtigt.
Folgendes Schaubild illustriert die Struktur des Modells und legt gleich die in der Modellherleitung zu verwendenden Bezeichnungen fest:
Bild 0-1: Schaubild zur Modellerweiterung des autonomen Hackenporsche mit Radeigenschaften.
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
| S | Schwerpunkt |
| H | zusammengefaßte Hinterachse / Hinterrad |
| P | Vorderrad / Antriebsrad |
| Q | Momentanpol |
| Ω | Winkelgeschwindigkeit im Momentanpol |
| b | Abstand zwischen S und H,sowie S und P |
| FH | Zwangskraft Hinterrad |
| FRH | Reibkraft Hinterrad (Lineare Dämpfung) |
| FP | Zwangskraft Vorderrad |
| FRP | Reibkraft Vorderrad (Lineare Dämpfung) |
| FA | Antriebskraft Vorderrad |
| β | Lenkwinkel |
| φ | Verdrehung des Fahrzeugkoordinatensystems gegenüber dem Inertialkoordinatensystem |
| [x,y] | Schwerpunktkoordinaten (ohne Indices) |
| m | Fahrzeugmasse |
| J | Hauptmasseträgheitsmoment des Fahrzeugs bzgl. des Schwerpunktes um die Z-Achse. |
Tabelle 0-1: Erläuterung der im Schaubild verwendeten Symbole.
Herleitung
Tip: Arbeiten Sie stets vektoriell und nicht mit der Ebenengeometrie.
Die Herleitung erfolgt in fünf Schritten und wird in der Vorlesung und der Übung durchgeführt.
0. Nützliche Beziehungen
$ T=\left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right] $
Formel 0-1: Transformationsmatrix für die Drehung von I' \\ nach I.
$ \vec o _P ^I = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T \vec o _P ^{I ^{\prime} } $
Formel 0-2: Transformation eines Punktes vom Körpersystem in das Inertialkoordinatensystem.
$ \vec o _P ^{I ^{\prime} } = T ^{\prime} \left( \vec o _P ^I - \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]\right) $
Formel 0-3: Transformation eines Punktes vom Inertialkoordinatensystem in das Körpersystem.
$ \frac {d}{dx}{ \tan \left(x\right)}= \frac {1}{ \cos ^2 x} = 1+ \tan ^2 x \\ $
Formel 0-4: Ableitung von Tangens nach x.
$ \frac {d}{dx}{cot\left(x\right)}= - \frac {1}{ \sin ^2 x} = -1-cot ^2 x \\ $
Formel 0-5: Ableitung von Co \tan gens nach x.
Bild 0-2: Schaubild zur Beziehung zwischen Kreisgeschwindigkeit und Winkeleschwindigkeit.
$ \vec \omega = \vec r x \vec v $
Formel 0-6: Vektor der Winkelgeschwindigkeit errechnen.
$ \vec v = \vec \omega x \vec r $
Formel 0-7: Vektor der Kreisgeschwindigkeit errechnen.
$ \Omega = \dot \phi $
Formel 0-8: Winkelgeschwindigkeit des Momen \tan pols entspricht Winkelgeschwindigkeit des Schwerpunktes.
Übung: Beweisen Sie, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren jeweils das gleiche Ergebnis liefert, unabhängig davon, ob die Berechnung im Inertial- oder im Körpersystem durchgeführt wird.
$ \vec u ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}a \\ b\end{array}\right] \vec v ^{\prime} =\left[\begin{array}{cc}c \\ d\end{array}\right] $
Formel 0-9: Zwei allgemeine Vektoren im Körperkoordinatensystem definieren.
$ u ^{\prime} x v ^{\prime} = ad-bc $
Formel 0-10: Deren Kreuzprodukt bilden.
$ \left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a \\ b\end{array}\right] x \left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}c \\ d\end{array}\right]=ad-bc $
Formel 0-11: Beide Vektoren in das Inertialkoordinatensystem transformieren und hier auch das Kreuzprodukt bilden.
1. Kinematik: Bestimmung der ausgezeichneten Punkte im Inertialkoordinatensystem
$ \vec o _S = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] $
Formel 0-12: Schwerpunkt im Intertialkoordinatensystem.
$ \vec o _H = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T\left[\begin{array}{cc}-b \\ 0\end{array}\right] $
Formel 0-13: H \int erachspunkt H im Intertialkoordinatensystem.
$ \vec o _P = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T\left[\begin{array}{cc}b \\ 0\end{array}\right] $
Formel 0-14: Vorderachspunkt P im Intertialkoordinatensystem.
$ \left[\begin{array}{cc}-b \\ 0\end{array}\right] + a\left[\begin{array}{cc}0 \\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}b \\ 0\end{array}\right] + c\left[\begin{array}{cc}- \sin \beta \\ \cos \beta \end{array}\right] $
Formel 0-15: Bestimmungsgleichung für den Momen \tan pol im Fahrzeugkoordinatensystem.
$ a = \frac {2b \cos \beta }{ \sin \beta } $
Formel 0-16: Lösung für a.
$ c = \frac {2b}{ \sin \beta } $
Formel 0-17: Lösung für c.
$ o _Q ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}-b \\ \frac {2b \cos \beta }{ \sin \beta } \end{array}\right] $
Formel 0-18: Momen \tan pol im Fahrzeugkoordinatensystem.
$ o _Q = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T o _Q ^{\prime} $
Formel 0-19: Momen \tan pol im Inertialkoordinatensystem.
2. Darstellung der Zwangs- und Reibkräfte
$ \vec F _H ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}0 \\ F _H \end{array}\right] $
Formel 0-20: Zwangskraft F H im Fahrzeugkoordinatensystem.
$ \vec F _H= \left[\begin{array}{cc} - F _H \sin \phi \\ F _H \cos \phi \end{array}\right] $
Formel 0-21: Zwangskraft F H im Inertialkoordinatensystem
$ \vec F _P ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc} - F _P \sin \beta \\ F _P \cos \beta \end{array}\right] $
Formel 0-22: Zwangskraft F H im Fahrzeugkoordinatensystem.
$ \vec F _P= T \vec F _P ^{\prime} $
Formel 0-23: Zwangskraft F H im Inertialkoordinatensystem
$ \vec F _{RH} ^{\prime} = -D \vec \omega x \vec r _{QH} ^{\prime} = -D \left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right] x \left[\begin{array}{cc} 0 \\ - 2b \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 0\end{array}\right] = -D\left[\begin{array}{cc}2b \dot \phi \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 0 \\ 0\end{array}\right] $
Formel 0-24: Bestimmung der Reibkraft im Punkt H im Fahrzeugkoordinatensystem.
$ \vec F _{RP} ^{\prime} = -D \vec \omega x \vec r _{QP} ^{\prime} = -D \left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right] x \left[\begin{array}{cc} 2b \\ -2b \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 0\end{array}\right]=-D\left[\begin{array}{cc}2b \dot \phi \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 2b \dot \phi \\ 0\end{array}\right] $
Formel 0-25: Bestimmung der Reibkraft im Punkt H im Fahrzeugkoordinatensystem.
$ \vec F _A = \left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \beta & - \sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}F _A \\ 0\end{array}\right] = F _A \left[\begin{array}{cc} \cos \beta \cos \phi - \sin \beta \sin \phi \\ \cos \beta \sin \phi + \sin \beta \cos \phi \end{array}\right] $
Formel 0-26: Vektor der Antriebskraft im Inertialkoordinatensystem.
3. Aufstellen der Newton-Euler-Gleichungen
$ m \left[\begin{array}{cc} \ddot x \\ \ddot y\end{array}\right] = \vec F _A + \vec F _H + \vec F _P + \vec F _{RH} + \vec F _{RP} $
Formel 0-27: Newton-Gleichung in x-Richtung.
$ J \ddot \phi = \vec r _{SH} ^{\prime} x \vec F _H ^{\prime} + \vec r _{SP} ^{\prime} x \left( \vec F _A ^{\prime} + \vec F _P ^{\prime} + \vec F _{RP} ^{\prime} \right) $
Formel 0-28: Eulergleichung im Inertialkoordinatensystem unter Ausnutzung der Tatsache & dass Kreuzprodukte im Körpersystem identisch mit denen im Inertialsystem \sin d.
4. Aufstellen der Zwangsbedingungen
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$ \left[\begin{array}{cc}\dot x \\ \dot y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right]x\left(T \left(- \vec o _Q ^{\prime} \right)\right) $
Formel 0-29: Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Schwerpunktgeschwindigkeit
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$ \left[\begin{array}{cc}\ddot x \\ \ddot y\end{array}\right] = \frac {d}{dt} \left(\left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right]x\left(T \left(- \vec o _Q ^{\prime} \right)\right)\right) $
Formel 0-30: Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Schwerpunktgeschwindigkeit
5. Herleiten der Bestimmungsgleichungen für die Zwangskräfte
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