Analyse linearer Regelungssysteme
(EN google-translate)
(PL google-translate)
Bevor man überhaupt an den Entwurf eines Reglers denkt, sollte überprüft werden, ob diese Strecke überhaupt geregelt werden kann. Zur Beurteilung der so genannten Regelbarkeit gibt es bei PTn-Strecken ein empririsches Kriterium.
Beurteilung der Regelbarkeit von PTn-Strecken anhand von Verzugszeit und Anstiegszeit
Zur Erinnerung: In Kapitel 7.3 (Methode 2 von Ziegler und Nichols) wurden die Verzugszeit Tu und die Anstiegszeit Ta bereits eingeführt.
|
Bild 0-1: Beispiel: Bestimmung der charakteristischen Größen KS, Tu und Ta aus dem Graph der Sprungantwort für G(s)=1/(1+2s+s^2).
Bei der Beurteilung der Regelbarkeit kann das Verhältnis dieser charakteristischen Zeiten zueinander herangezogen werden:
$ Regelbarkeit= \frac {T_a}{T_u} $
Formel 0-1: Formel für einen numerischen Wert anhand dessen sich die Regelbarkeit von PT<sub>n</sub>-Übertragungsgliedern beurteilen läßt.
| Ta/Tu | Regelbarkeit |
|---|---|
| >5 | gute Regelbarkeit |
| >2,5..5 | mittlere Regelbarkeit |
| >1,2..2,5 | schlechte Regelbarkeit |
| < 1,2 | sehr schlechte Regelbarkeit |
Tabelle 0-1: Tabelle zur Beurteilung der Regelbarkeit.
Mit dem Grad n des PTn-Gliedes nimmt die Regelbarkeit immer weiter ab.
|
Übung
|
$ G\left(s\right) = \frac {s+3}{\left(s+1+i\right)\left(s+1-i\right)\left(s+2\right)} $
Formel 0-2: Erste Strecke deren Regelbarkeit untersucht werden soll.
$ H\left(s\right) = \frac {s+3}{\left(s+0.1+i\right)\left(s+0.1-i\right)\left(s+2\right)} $
Formel 0-3: Zweite Strecke deren Regelbarkeit untersucht werden soll.
$ U\left(s\right) = \frac {s+3}{\left(s+1+i\right)\left(s+1-i\right)\left(s+2\right)\left(s+4+3i\right)\left(s+4-3i\right)} $
Formel 0-4: Dritte Strecke deren Regelbarkeit untersucht werden soll.
Hinweis: Beim Einbau eines PT2-Übertragungsgliedes in dem zuvor behandelten Fahrzeugmodell ergibt sich insgesamt ein Übertragungsglied höherer Ordnung (n=4?), woraus eine nicht gute Regelbarkeit des Gesamtsystems gefolgert werden kann.
Wenn nun die Regelbarkeit einer Strecke festgestellt wurde, folgen nun die ersten Schritte auf dem Weg zur Auswahl und Auslegung eines geeigneten Reglers.
Die Beurteilung der Güte eines Regelkreises wird im folgenden basierend auf zwei Kriterien entwickelt: dem Führungsverhalten und dem Störverhalten. Durch Variation bei der Wahl der Reglerstruktur und später der Variation der Regelparameter und Anwendung der Kriterien kann dann auch die eigentliche Reglerauslegung erfolgen.
Führungsverhalten
|
Mit diesen drei Charakterisierungen der Reaktion des Reglers auf eine Sollwertänderung haben wir bereits erkenntnisreiche Erfahrungen gesammelt, insbesondere bei der Auslegung von PID-Reglern, z.B. bei dem zuletzt behandelten Fahrzeugmodell:
|
|
|
Bild 0-2: Das Führungsverhalten wird beim geschlossenen Regelkreis als Verhältnis von Ausgang y zur sich ändernden Führungsgröße w beschrieben.
|
$ \frac {Y}{W}= \frac {R\left(s\right)G\left(s\right)}{1+R\left(s\right)G\left(s\right)} $
Formel 0-5: Das Führungsverhalten läßt sich am Übertragungsverhalten Y/W ablesen.
Am Führungsverhalten liest man ab, ob ein Regelsystem stabil ist und eine Sollwertänderung in einer gewünschten Maximalzeit ausregelt.
Störverhalten
Regelkreise werden vornehmlich bei Strecken eingesetzt, die Störungen unterworfen sind. Andernfalls wäre eine Steuerung ausreichend.
|
...alle Störungen z werden in der Regelungstechnik typischerweise als direkt auf den Streckeneingang wirksam angenommen. Für die Analyse des Störverhaltens wird die Führungsgröße w außer Acht gelassen:
Bild 0-3: Analyse des Störverhaltens.
Hier ergibt sich als Gesamtübertragungsfunktion:
$ \frac {Y}{Z}= \frac {G\left(s\right)}{1+R\left(s\right)G\left(s\right)} $
Formel 0-6: Störverhalten.
Übung
|
$ R\left(s\right)=2 & G\left(s\right)= \frac {1}{s^2+2s+1} $
Formel 0-7: Regelungssystem 1.
$ R\left(s\right)=s+1 & G\left(s\right)= \frac {1}{s^2+2s+1} $
Formel 0-8: Regelungssystem 2.
$ R\left(s\right)= \frac {1}{s} & G\left(s\right)= \frac {1}{s^2+2s+1} $
Formel 0-9: Regelungssystem 3.
Am Störverhalten liest man ab, ob ein Regelungssystem auf Störungen nicht instabil reagiert.
Reglerauslegung mit Hilfe des Bodediagramms
|
$ |G\left(i \omega \right)|= \sqrt {Re\left(G\left(i \omega \right)\right)^2 + Im\left(G\left(i \omega \right)\right)^2} $
Formel 0-10: Amplitudengang.
$ \phi \left(i \omega \right)=arc \cos \left( \frac {Re\left(G\left(i \omega \right)\right)}{|G\left(i \omega \right)|} \right) $
Formel 0-11: Phasengang.
|
|
|
//s als Argument für ein Polynom definieren:
s = poly(0,"s");
//Parameter festlegen:
K = 1;
T = 1;
P = 1;
//Übertragungsfunktion definieren:
G = syslin('c',[K],[1+s*T+P*s^2]); //PT2
//G = syslin('c',[s+1],[2+s*T+P*s^2]); //Auch Nullstelle
//G = syslin('c',[K*exp(-0.5*s)],[1+s*T+P*s^2]); //PT2 mit Totzeit
//Pol-Nullstellen Diagramm zeichnen
subplot(221);
plzr(G);
//Frequenzgang berechnen
freqmin=1; // minimale Frequenz
freqmax=1000; // maximale Frequenz
subplot(222);
nyquist(G,freqmin,freqmax); // Ortskurve über Frequenzbereich
subplot(223);
bode(G,freqmin,freqmax); // Ortskurve über Frequenzbereich
//Zeitbereich für die Simulation festlegen:
t=[0:0.01:10];
u=ones(1,1001);
//Sprungantwort für die gegebene Übertragungsfunktion bestimmen:
//y=csim('impuls',t,G);
y=csim(u,t,G);
subplot(224);
plot2d(t,y);
xtitle("Sprungantwort zu G(s) ")
Code 0-2: Erzeugen diverser in der Regelungstechnik gebräuchlicher Darstellungen für Übertragungsglieder.
Bild 0-2: Mit obigem Skript erzeugte Diagramme.
Beurteilung der Stabilität eines geschlossenen Regelkreises anhand des Bodediagramms des offenen Regelkreises
Der offene Regelkreis sei stabil und der Amplitudengang schneide die 0dB-Linie genau einmal an der Durchtrittsfrequenz ωD, dann ist der geschlossene Regelkreis stabil, wenn im Bodediagramm des offenen Regelkreises bei der Durchtrittsfrequenz ωD eine Phasendrehung größer als -180o vorliegt.
|
|
$ Phasenreserve= \phi \left(i \omega _D\right)+180^o $
Formel 0-1: Bestimmung der Phasenreserve.
Die Phasenreserve gibt Aufschluß über den Dämpfungsgrad des Systems, und damit, wie schnell die Ausregelung arbeitet.
Übung
|
$ \ddot y + 2 d \omega _0 \dot y + \omega _0^2 y = \omega _0^2 u\left(t\right) $
Formel 0-2: PT2-Glied im Zeitbereich.
|
Übung
|
$ G\left(s\right)= \frac {s}{s^2-s+1} $
Formel 0-3: a
$ G\left(s\right)= \frac {2 \cdot s}{s^2+1} $
Formel 0-4: b
$ G\left(s\right)= \frac {s-2}{s^2} $
Formel 0-5: c
$ G\left(s\right)= \frac {s+2}{s^2} $
Formel 0-6: d
$ G\left(s\right)= \frac {1}{s+1} $
Formel 0-7: e