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© Guido Kramann

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Robuste Systemintegration
1 Grundlagen
..1.1 Newton
....1.1.1 LinearSchwinger
....1.1.2 Daempfung
....1.1.4 ODE
....1.1.5 Saaluebung
..1.2 NewtonEuler
....1.2.1 Traegheitsmomente
....1.2.2 Modellgleichungen
....1.2.3 Einfachpendel
..1.3 Scilab
....1.3.1 Erste_Schritte
....1.3.2 Skripte
....1.3.3 Funktionen
..1.4 Laplace
....1.4.1 Eigenwerte
....1.4.2 PT1
..1.5 Regleroptimierung
....1.5.1 Guetefunktion
....1.5.2 Heuristiken
....1.5.3 Scilab
..1.6 Einstellregeln
....1.6.1 Totzeit
....1.6.2 Methode1
....1.6.3 Methode2
....1.6.4 Scilab
..1.7 Zustandsregler
..1.8 Polvorgabe
..1.8 Polvorgabe_alt
..1.9 Beobachter
....1.9.1 Haengependel
..1.10 Daempfungsgrad
..1.11 Processing
....1.11.1 Installation
....1.11.2 Erste_Schritte
....1.11.3 Mechatronik
....1.11.4 Bibliotheken
....1.11.5 Uebung
....1.11.6 Snippets
......1.11.6.1 Dateioperationen
......1.11.6.2 Bilder
......1.11.6.3 GUI
......1.11.6.4 Text
......1.11.6.5 PDF
......1.11.6.8 Maus
......1.11.6.10 Zeit
......1.11.6.13 Animation
......1.11.6.15 Simulation
....1.11.7 Referenzen
..1.12 Breakout
2 Beispiel
3 Beispielloesung
4 Praxis
5 javasci
6 Fehlertoleranz1
7 Reglerentwurf
..7.1 Sprungantwort
..7.2 Messdaten
..7.3 Systemidentifikation
..7.4 Polvorgabe
..7.5 Beobachter
..7.6 Robuster_Entwurf
..7.7 SIL
8 Systementwicklung
9 Arduino
..9.1 Lauflicht
..9.2 Taster
..9.3 Sensor
..9.12 Motor_PWM1
..9.13 Motor_PWM2_seriell
..9.14 Motor_PWM3_analogWrite
..9.15 Scheduler
..9.20 AV
..9.21 Mikrofon
..9.22 Universal
....9.22.1 Laborplatine
....9.22.2 LED_Leiste
....9.22.3 Motortreiber
....9.22.4 Sensoreingaenge
....9.22.5 Taster
....9.22.6 Tests
....9.22.7 Mikrofon
....9.22.8 Lautsprecher
....9.22.9 Fahrgestell
..9.23 Zauberkiste
..9.24 OOP
....9.24.1 Uebungen
..9.25 AVneu
....9.25.1 Tests
..9.26 DA_Wandler
..9.27 CompBoard
....9.27.1 Tastenmatrix
....9.27.2 ASCIIDisplay
..9.28 CTC
..9.29 Tonerzeugung
10 EvoFuzzy
..10.1 Fuzzy
....10.1.1 Fuzzylogik
....10.1.2 FuzzyRegler
....10.1.3 Uebung9
....10.1.5 Softwareentwicklung
......10.1.5.1 AgileSoftwareentwicklung
......10.1.5.2 FuzzyRegler
......10.1.5.3 Uebung
....10.1.6 Umsetzung
......10.1.6.1 FuzzyRegler
......10.1.6.2 Simulation
......10.1.6.3 Optimierung
......10.1.6.4 Uebung
....10.1.7 Haengependel
......10.1.7.1 Haengependel
......10.1.7.2 Simulation
......10.1.7.3 FuzzyRegler
......10.1.7.4 Optimierer
......10.1.7.5 Genetisch
....10.1.8 Information
....10.1.9 Energie
..10.2 Optimierung
....10.2.1 Gradientenverfahren
....10.2.2 Heuristiken
....10.2.3 ModifizierteG
....10.2.4 optim
..10.3 Genalgorithmus
..10.4 NeuronaleNetze
....10.4.1 Neuron
....10.4.2 Backpropagation
....10.4.3 Umsetzung
....10.4.4 Winkelerkennung
..10.5 RiccatiRegler
11 Agentensysteme
12 Simulation
20 Massnahmen
21 Kalmanfilter
..21.1 Vorarbeit
..21.2 Minimalversion
..21.3 Beispiel
30 Dreirad
31 Gleiter
..31.1 Fehlertoleranz

21.1 Mathematische Vorarbeit zum Kalmanfilter

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mittelwert

$ m = \frac { \sum _{i=1}^n x_i}{n} $

Formel 21.1-1: Mittelwert


double x[] = {1.0,2.0,3.0};
int n=3;
double m=0.0;
for(i=0;i<n;i++)
    m+=x[i];
m/=(double)n;

Code 21.1-1: Mittelwert in C++

Varianz

$ v= \frac {1}{n-1} \cdot \sum _{i=1}^n \left(x_i-m\right)^2 $

Formel 21.1-2: Varianz


Standardabweichung == Streuung

$ s= \sqrt v $

Formel 21.1-3: S \tan dardabweichung / Streuung


Gauss-sche Normalverteilung für stetige Zufallszahlen x mit Mittelwert m und Streuung s

$ f\left(x\right)= \frac {1}{s \cdot \sqrt \left(2 \cdot pi\right)}e^{- \frac {1}{2}\left( \frac {x-m}{s}\right)^2} $

Formel 21.1-4: Gauss-sche Normalverteilung.


Die Gauss-sche Glockenkurve spiegelt die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert x wieder.

Kovarianz

Cov(x,y) ist positiv, wenn x und y einen monotonen Zusammenhang aufweisen und negativ bei gegensinnig monotonem Zusammenhang.

$ Cov\left(x y\right)= \frac { \sum _{i=1}^n {\left(x_i-m_x\right) \cdot \left(y_i-m_y\right)}}{n} $

Formel 21.1-5: Kovarianz zweier Meßreihen.


Sonderfall:

$ Cov\left(x x\right)=v $

Formel 21.1-6: Die Kovarianz einer Meßreihe mit sich selbst entspricht der Varianz.


Kovarianzmatrix

Für einen Vektor an Variablen wird die Kovarianzmatrix gebildet, indem die Kovarianz zwischen jeder Variable des Vektors mit jeder gebildet wird.

Beispiel für zwei Variablen:

$ Cov\left(\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}Cov\left(xx\right) & Cov\left(xy\right) \\ Cov\left(yx\right) & Cov\left(yy\right)\end{array}\right] \\ $

Formel 21.1-7: Kovarianzmatrix bei einem Vektor mit zwei Variablen x und y.


Scilab: Erzeugen von Normal verteilten Zufallszahlen mit Mittelwert m und Streuung s
z = grand(1, 1, "nor", m, s);

Code 21.1-2: Scilab: Erzeugen von Normal verteilten Zufallszahlen mit Mittelwert m und Streuung s.