Mathematische Vorarbeit zum Kalmanfilter
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mittelwert
$ m = \frac { \sum _{i=1}^n x_i}{n} $
Formel 0-1: Mittelwert
double x[] = {1.0,2.0,3.0};
int n=3;
double m=0.0;
for(i=0;i<n;i++)
m+=x[i];
m/=(double)n;
Code 0-1: Mittelwert in C++
Varianz
$ v= \frac {1}{n-1} \cdot \sum _{i=1}^n \left(x_i-m\right)^2 $
Formel 0-2: Varianz
Standardabweichung == Streuung
$ s= \sqrt v $
Formel 0-3: S \tan dardabweichung / Streuung
Gauss-sche Normalverteilung für stetige Zufallszahlen x mit Mittelwert m und Streuung s
$ f\left(x\right)= \frac {1}{s \cdot \sqrt \left(2 \cdot pi\right)}e^{- \frac {1}{2}\left( \frac {x-m}{s}\right)^2} $
Formel 0-4: Gauss-sche Normalverteilung.
Die Gauss-sche Glockenkurve spiegelt die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert x wieder.
Kovarianz
Cov(x,y) ist positiv, wenn x und y einen monotonen Zusammenhang aufweisen und negativ bei gegensinnig monotonem Zusammenhang.
$ Cov\left(x y\right)= \frac { \sum _{i=1}^n {\left(x_i-m_x\right) \cdot \left(y_i-m_y\right)}}{n} $
Formel 0-5: Kovarianz zweier Meßreihen.
Sonderfall:
$ Cov\left(x x\right)=v $
Formel 0-6: Die Kovarianz einer Meßreihe mit sich selbst entspricht der Varianz.
Kovarianzmatrix
Für einen Vektor an Variablen wird die Kovarianzmatrix gebildet, indem die Kovarianz zwischen jeder Variable des Vektors mit jeder gebildet wird.
Beispiel für zwei Variablen:
$ Cov\left(\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}Cov\left(xx\right) & Cov\left(xy\right) \\ Cov\left(yx\right) & Cov\left(yy\right)\end{array}\right] \\ $
Formel 0-7: Kovarianzmatrix bei einem Vektor mit zwei Variablen x und y.
Scilab: Erzeugen von Normal verteilten Zufallszahlen mit Mittelwert m und Streuung s
z = grand(1, 1, "nor", m, s);
Code 0-2: Scilab: Erzeugen von Normal verteilten Zufallszahlen mit Mittelwert m und Streuung s.