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© Guido Kramann

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Robuste Systemintegration
1 Grundlagen
..1.1 Newton
....1.1.1 LinearSchwinger
....1.1.2 Daempfung
....1.1.4 ODE
....1.1.5 Saaluebung
..1.2 NewtonEuler
....1.2.1 Traegheitsmomente
....1.2.2 Modellgleichungen
....1.2.3 Einfachpendel
..1.3 Scilab
....1.3.1 Erste_Schritte
....1.3.2 Skripte
....1.3.3 Funktionen
..1.4 Laplace
....1.4.1 Eigenwerte
....1.4.2 PT1
..1.5 Regleroptimierung
....1.5.1 Guetefunktion
....1.5.2 Heuristiken
....1.5.3 Scilab
..1.6 Einstellregeln
....1.6.1 Totzeit
....1.6.2 Methode1
....1.6.3 Methode2
....1.6.4 Scilab
..1.7 Zustandsregler
..1.8 Polvorgabe
..1.8 Polvorgabe_alt
..1.9 Beobachter
....1.9.1 Haengependel
..1.10 Daempfungsgrad
..1.11 Processing
....1.11.1 Installation
....1.11.2 Erste_Schritte
....1.11.3 Mechatronik
....1.11.4 Bibliotheken
....1.11.5 Uebung
....1.11.6 Snippets
......1.11.6.1 Dateioperationen
......1.11.6.2 Bilder
......1.11.6.3 GUI
......1.11.6.4 Text
......1.11.6.5 PDF
......1.11.6.8 Maus
......1.11.6.10 Zeit
......1.11.6.13 Animation
......1.11.6.15 Simulation
....1.11.7 Referenzen
..1.12 Breakout
2 Beispiel
3 Beispielloesung
4 Praxis
5 javasci
6 Fehlertoleranz1
7 Reglerentwurf
..7.1 Sprungantwort
..7.2 Messdaten
..7.3 Systemidentifikation
..7.4 Polvorgabe
..7.5 Beobachter
..7.6 Robuster_Entwurf
..7.7 SIL
8 Systementwicklung
9 Arduino
..9.1 Lauflicht
..9.2 Taster
..9.3 Sensor
..9.12 Motor_PWM1
..9.13 Motor_PWM2_seriell
..9.14 Motor_PWM3_analogWrite
..9.15 Scheduler
..9.20 AV
..9.21 Mikrofon
..9.22 Universal
....9.22.1 Laborplatine
....9.22.2 LED_Leiste
....9.22.3 Motortreiber
....9.22.4 Sensoreingaenge
....9.22.5 Taster
....9.22.6 Tests
....9.22.7 Mikrofon
....9.22.8 Lautsprecher
....9.22.9 Fahrgestell
..9.23 Zauberkiste
..9.24 OOP
....9.24.1 Uebungen
..9.25 AVneu
....9.25.1 Tests
..9.26 DA_Wandler
..9.27 CompBoard
....9.27.1 Tastenmatrix
....9.27.2 ASCIIDisplay
..9.28 CTC
..9.29 Tonerzeugung
10 EvoFuzzy
..10.1 Fuzzy
....10.1.1 Fuzzylogik
....10.1.2 FuzzyRegler
....10.1.3 Uebung9
....10.1.5 Softwareentwicklung
......10.1.5.1 AgileSoftwareentwicklung
......10.1.5.2 FuzzyRegler
......10.1.5.3 Uebung
....10.1.6 Umsetzung
......10.1.6.1 FuzzyRegler
......10.1.6.2 Simulation
......10.1.6.3 Optimierung
......10.1.6.4 Uebung
....10.1.7 Haengependel
......10.1.7.1 Haengependel
......10.1.7.2 Simulation
......10.1.7.3 FuzzyRegler
......10.1.7.4 Optimierer
......10.1.7.5 Genetisch
....10.1.8 Information
....10.1.9 Energie
..10.2 Optimierung
....10.2.1 Gradientenverfahren
....10.2.2 Heuristiken
....10.2.3 ModifizierteG
....10.2.4 optim
..10.3 Genalgorithmus
..10.4 NeuronaleNetze
....10.4.1 Neuron
....10.4.2 Backpropagation
....10.4.3 Umsetzung
....10.4.4 Winkelerkennung
..10.5 RiccatiRegler
11 Agentensysteme
12 Simulation
20 Massnahmen
21 Kalmanfilter
..21.1 Vorarbeit
..21.2 Minimalversion
..21.3 Beispiel
30 Dreirad
31 Gleiter
..31.1 Fehlertoleranz
80 Vorlesung_2014_10_01
81 Vorlesung_2014_10_08
82 Vorlesung_2014_10_15
83 Vorlesung_2014_10_22
84 Vorlesung_2014_10_29

1.1.1 Einfacher Feder-Masse-Schwinger

Das einfachste schwingungsfähige System, ist der s.g. lineare Feder-Masse-Schwinger. Er kommt in dieser Reinform nicht vor. Sein Modell hilft aber über ihm ähnelnde Systeme treffende Aussagen zu machen.

Beispiele für Systeme, die angenähert bei entsprechenden Fragestellungen durch einen Feder-Masse-Schwinger beschrieben werden können: Federwaage, Autositz, Radaufhängung am Auto, Relaiskontakt mit Rückholfeder, Rückstossdämpfung in Bolzensetzgeräten, etc.

Bei all diesen Systemen empfiehlt es sich im Modell neben der federnden Komponente auch eine dämpfende mit einzubeziehen. Zunächst jedoch betrachten wir ein Feder-Masse-System ohne Dämpfung:

Für die folgenden Berechnungen nehmen wir an, unser Schwinger würde sich senkrecht zur Gravitationsrichtung bewegen.
  • Die Darstellung erfolgt grundsätzlich im MKS-System (Meter, Kilogramm, Sekunde)
  • Das System hier ist eindimensional, es wird nur ein Freiheitsgrad betrachtet
  • Entlang dieses Freiheitsgrades greift an einen als starr angenommenen Körper eine Kraft an: die Federkraft FC=Cx.
  • Der linke Befestigungspunkt der Feder soll hier zunächst als unbeweglich angesehen werden.
  • Demzufolge führt dann auch eine Auslenkung x>0m zu einer Federrückstellkraft von Cx, wobei C ein konstanter Faktor ist, der aus der Auslenkung in m eine Kraft macht, folglich die Einheit F/m besitzt und Federkonstante genannt wird.
  • Die Feder selbst wird als Gewichtslos angesehen.
  • Orientierung und Richtung des Koordinatensystems sind frei gewählt. Bei der vorliegenden Wahl liefert die Feder eine Kraft in negative Richtung bei positiver Auslenkung der Masse in x-Richtung.
Der Koordinatenursprung wird so gelegt, dass die Feder gerade entspannt ist, wenn der Masseschwerpunkt bei x=0m liegt.
Horizontal gelagerter Feder-Masse-Schwingers ohne Dämpfung

Bild 1.1.1-1: Horizontal gelagerter Feder-Masse-Schwingers ohne Dämpfung.

Zum Aufstellen der Bewegungsgleichung nach Newton, wird die Masse freigeschnitten und die an ihr angreifenden Kräfte angetragen:

Das Prinzip des Freischneidens der einzelnen starren Körper ist das grundsätzliche Vorgehen, um in der Maschinendynamik zu den Gleichungen eines Systems zu kommen. Pro Körper ergibt sich im Eindimensionalen je eine Gleichung. Im Zwei- und Dreidimensionalen, wenn zudem Drehungen der Körper erlaubt sind, ergeben sich, wie wir noch sehen werden, pro Körper 3, bzw. 6 Gleichungen. Hier muss dann ein ganzes Gleichungssystem gelöst werden.

Grundsätzlich wirkt beim Freischneiden die an der entsprechenden Stelle vorhandene Kraft stets mit gleichem Betrag und Richtung an beiden Schnittebenen, aber mit gegensätzlicher Orientierung.

Grundlage bildet die Newton-sche Gleichung:

Newton-Gleichung

Bild 1.1.1-2: Newton-Gleichung

Das freigeschnittene System sieht nun folgendermassen aus:

Freigeschnittener Feder-Masse-Schwinger ohne Graviationseinfluß

Bild 1.1.1-3: Freigeschnittener Feder-Masse-Schwinger ohne Graviationseinfluß.

Dementsprechend ergibt sich die Bewegungsgleichung:

Schwingungsgleichung aus Ruhelage heraus

Bild 1.1.1-4: Schwingungsgleichung aus Ruhelage heraus

Um diese Differentialgleichung 2. Ordnung numerisch lösen zu können, wandeln wir sie in zwei Diffferentialgleichungen 1. Ordnung um:

v als Geschwindigkeit der Masse

Bild 1.1.1-5: v als Geschwindigkeit der Masse.

Daraus erhält man ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, das genau der obigen Differentialgleichung 2. Ordnung entspricht:

Differentialgleichungssystem erster Ordnung der Schwingungsgleichung.

Bild 1.1.1-6: Differentialgleichungssystem erster Ordnung der Schwingungsgleichung.

In Matrizenschreibweise sieht das gleiche System folgendermassen aus:

Differentialgleichungssystem erster Ordnung der Schwingungsgleichung in Matrizenschreibweise.

Bild 1.1.1-7: Differentialgleichungssystem erster Ordnung der Schwingungsgleichung in Matrizenschreibweise.