Übung - Auslegung eines Zustandsreglers am Beispiel einer Kranbahn mit Hängelast
- Anhand der folgenden Übung sollen die im vorangegangenen Kapitel dargestellten Techniken zur Auslegung von Zustandsreglern mit und ohne Beobachter vertieft werden.
|
- Ein Körperpendel in Form eines zylindrischen Stabs der Länge 2r und dem Zylinderdurchmesser d sei an einem Ende reibungsfrei gelenkig aufgehangen.
- Seine Pendelbewegung soll über eine am freien Ende horizontal angreifenden Stellkraft FA möglichst rasch beruhigt werden.
- FA soll als Stellgröße für einen Zustandsregler dienen.
- Das System soll für kleine φ linearisiert betrachtet werden.
|
Bild 0-1: Darstellung des angetriebenen Pendels
- Für die folgenden Aufgaben sollen die nachfolgenden Parameter verwendet werden:
- Stabmasse m = 1kg
- Stablänge 2r = 1m
- Stabdurchmesser d=0,1m
- Anfangsauslenkung φ0=Π/8
|
Aufgabe 1
- Stellen Sie die Modellgleichungen für das beschriebene System auf.
- Eliminieren Sie die Zwangskräfte in der Eulergleichung mit Hilfe der Newton-Gleichungen und der Zwangsbedingungen.
- Linearisieren Sie die Eulergleichung für kleine φ.
- Formen Sie die lineare Differentialgleichung in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung um.
- Erster Zustand soll φ sein, der zweite ω.
|
Aufgabe 2
- Was erwarten Sie bzgl. der Lage der Eigenwerte des linearisierten Systems?
- Überprüfen Sie Ihre Vermutung, indem Sie die Eigenwerte von Hand bestimmen.
|
Aufgabe 3
- Entwerfen Sie nun einen Zustandsregler für das linearisierte System mit einer doppelten Polstellen bei λ1,2=-20.
- Simulieren für die obige Anfangsauslenkung das System mit und ohne Regler.
|
Aufgabe 4
- Entwerfen Sie nun einen Riccati-optimierten Regler mit Hilfe von Scilab für das System.
- Kontrollieren Sie die dabei sich ergebenden Eigenwerte des Zustandsreglers.
- Setzen Sie diese Eigenwerte in ppol ein und vergleichen Sie die Ergebnisse miteinander.
|
Aufgabe 5
- Nun soll die Stellkraft FA auf 5N begrenzt sein.
- Formulieren Sie eine entsprechende Gütefunktion und finden Sie optimale Regelparameter mit der Scilabfunktion optim(), oder einem eigenen modifizierten Gradientenverfahren.
|
Aufgabe 6
- Verwenden Sie im folgenden die Regelparameter aus Aufgabe 4.
- Entwickeln Sie nun einen Regler mit idealem Beobachter als Simulation für das System.
- Gehen Sie nun davon aus, dass sich nur der Winkel, nicht aber die Winkelgeschwindigkeit am System messen läßt.
- Führen Sie dazu eine Rückführung der Differenz zwischen realem und simuliertem Zustand ein und wählen Sie geeignete Werte für die Gewichtsmatrix L.
|
Aufgabe 7
- Ausgangpunkt ist die Scilab-Simulation aus Aufgabe 6.
- Setzen Sie hier nun als reales System das nicht linearisierte Modell ein.
- Vergleichen Sie den Unterschied im Verhalten beider Simulationen (Aufgabe 6/7) für verschiedene Anfangsauslenkungen (Π/8, Π/4, Π/2).
|