Nachfolgend wird chronologisch verzeichnet, welche Inhalte in den Einzellehrveranstaltungen im Fach Regelungstechnik für den Bachelor Maschinenbau im Wintersemester 2021/22 behandelt wurden.

Vorschau zu den nächsten Themen, die behandelt werden:

Versuch #1 steht an dieser Stelle. Alle weiteren Versuche folgen hier nachfolgend als Unterkapitel hinter day_by_day.

Bitte laden Sie die aktuelle Version der Arduino-Entwicklungsumgebung (Arduino IDE) unter nachfolgendem Link für Ihr Betriebssystem herunter und folgen Sie den Installationsanweisungen, bzw. verfahren Sie wie üblich:

Bereits in früheren Lehrveranstaltungen habe ich Videos erstellt, in denen die notwendigen ersten Schritte gezeigt werden:

Es folgen die Videos (als "nicht gelistet" auf youtube hochgealden und mit OBS-Studio erstellt):

Installieren Sie vorbereitend auf nachfolgende Lehrveranstaltungen gleich auch Scilab:

Bringen Sie Ihren Laptop mit der installierten Arduino IDE und die Box mit dem Versuchsequipment mit in die Lehrveranstaltung am Montag den 11.10.

Im allgemeinen ist es nicht möglich Differentialgleichungen geschlossen zu lösen, die im Zusammenhang regelungstechnischer Systeme auftauchen.

Jedoch ist es meistens möglich Differentialgleichungen numerisch zu lösen.

Ausgehend von einer Anfangsbedingung y0 zum Zeitpunkt t0 wird dann mit Hilfe der durch die DGL repräsentierten Steigung der Wert von y nach einem endlichen aber kleinen Zeitschritt Dt bestimmt, also der Wert y(t0+Dt). Dieser ist dann wieder Ausgangspunkt für den nächsten Schritt und so weiter.

Da hier im Prinzip die Sekandetensteigung benutzt wird, gibt es einen kumulativen numerischen Fehler, der durch den Einsatz mehr oder weniger geschickter numerischer Verfahren einmal größer und einmal kleiner ausfallen kann.

Die einfachste numerische Integrationsmethode, aber auch die schlechteste, wasn den numerischen Fehler anbelangt, ist das Eulersche Integrationsverfahren.

Dieses soll im folgenden auf die Differetialgleichung eines PT1-Übertragungsgliedes angewendet werden und der Verlauf der sich ergebenden Kurve mit der der geschlossenen Lösung vergleichen werden.

Die theoretische Herleitung folgt hier. Die praktische Umsetzung erfolgt dann mit Scilab.

Ist eine Differentialgleichung so darstellbar, dass links alleine die erste Ableitung der Zustandsgröße steht und rechts eine beliebige stetig differenzierbare Funktion von y und der Zeit t (s.u.), so läßt sich das Euler-Integrationsverfahren anwenden:

Hierzu wird für das Differential links der Differenzenquotient ersertzt:

Nun kann nach y zum Zeitpunkt t+Dt aufgelöst werden und schon erhält man das Grundschema des Eulerschen Integrationsverfahrens, bei dem der Neue Wert sich immer aus dem alten plus Dt mal der aktuellen Steigung ergibt.

Dies soll für den Spezialfall eines PT1-Übertragungsgliedes angewendet werden, bei dem zunächst einfach alle Parameter auf 1 gesetzt sind:

Spielen wir das Ganze zunächst von Hand durch:

Nun soll ein Scilab-Programm geschrieben werden, das uns die Arbeit abnimmt und noch einen Plot erzeugt:

Bei realen Systemen ist es oft notwendig, Modellparameter aus einem Plot zu ermitteln, bei dem die Zustandsgröße über die Zeit dargestellt ist.

Nehmen Sie einmal an, Sie erhalten obigen Plot und gehen davon aus, dass es das Ergebnis ist, das sich für y im zeitlichen Verlauf ergibt, wenn man an den Eingang für u einen Einheitssprung setzt, also u=const.=1 setzt. Was sich dann ergibt, ist die so genannte Sprungantwort des Systems.

Wir gehen hier davon aus, dass ein PT1-Übertragungsglied vorliegt. Und das hat die allgemeine Form:

Und wir wissen auch bereits, dass die geschlossene Lösung bei einem Sprung am Eingang als Inhomogenität die folgende geschlossene Lösung liefert:

Ferner können in einem Plot dann die Parameter K und T einfach abgelesen werden. Hier sieht man wie:

Mit Hilfe der in Teil 1 gewonnenen Informationen soll nun unter der Annahme, dass auch unsere Regelstrecke auf dem Mikrocontroller einem PT1-Übertragungsglied entspricht, hierfür die Parameter T und K ermittelt werden.

Gehen Sie dazu bitte folgendermaßen vor:

Das Datenblatt soll eine Zusammenfassung ihrer Ergebnisse enthalten und Sie identifizieren. Darum soll es folgende Daten enthalten:

Das Video kann einfach mit dem in der Hand gehaltenen Handy gemacht sein. Es dient nur der Bekräftigung der Glaubwürdigkeit, dass Sie in der Gruppe selbstständig gearbeitet haben. Das Video soll ohne Schnitt ablaufen und folgendes enthalten, bzw. so ablaufen:

Bisher haben Sie als einzigen Reglertyp den Zweipunktregler kennengelernt. Der hat die schlechten Eigenschaften, das er zu Schwingungsverhalten führt und Sprungstellen aufweist. In der klassischen linearen Theorie der Regelungstechnik werden aber lineare Regler bevorzugt eingesetzt und auch die Regelstrecken werden dort linearisiert.

Es ist nicht so einfach, diese linearen Reglertypen ohne Laplace-Transformation zu behandeln, aber Laplace-Transformation zu behandeln ist auch schwierig, darum machen wir beides, aber mit praktischen Beispielen.

Ein ähnliches Dilemma stellt sich ein, wenn man nach einem leicht verständlichen Auslegungsverfahren für eine Regler schaut. Die erste Methode nach Ziegler und Nichols ist zwar einfach, setzt aber Totzeit in der Regelstrecke voraus. Diese ist zwar bei realen Systemen immer gegeben, jedoch ist deren Verwendung in Scilab wieder etwas umständlich. Auch hier werden wir uns der Sache Schritt für Schritt nähern und immer wieder klären, was nun wirklich wichtig ist und was nur notwendige Workarrounds sind.

Scilab bietet fertige Integratoren an, die besser sind, als das Euler-Integrationsverfahren, wie die ode-Funktion. Jedoch muß man dafür die zu simulierende Differentialgleichung, oder das zu simulierende Differentialgleichungssystem in die passende Form bringen. Man kann aber auch selber bessere Integrationsverfahren in Scilab formulieren, als das Euler-Verfahren. Diesen Weg nehmen wir zuerst.

Beispiele, wo die ode-Funktion benutzt wird, finden Sie hier:

Wir werden die klassische Form des PID-Reglers aus dem Laplace-Bereich zunächst in den Zeitbereich transformieren und dann versuchen einen Regelkreis mit P, PD, PI und PID-Regler zu modellieren und zu simulieren.

Desweiteren können Sie Textpassagen hier aus day_by_day oder an anderen Stellen auf kramann.info in Ihre eigene Sprache mit deepL übersetzen lassen:

Ziel der Übung: Anwendung der Methode 1 nach Ziegler und Nichols auf die Heizregelstrecke aus dem ersten Testat.

Nachfolgend finden Sie einige Hinweise zum Vorgehen. Bitte lesen Sie diese Hinweise sorgfältig durch.

Im Fall des Systems aus dem ersten Testat taucht das spezielle Problem auf, dass wir nicht ohne weiteres ein negatives Stellsignal u erzeugen können. Machen Sie sich dies zunächst in der Gruppe klar und fragen bitte nach, falls Sie das nicht verstehen.

Um diesem Problem zu begegnen, dass keine Kälte, sondern nur Wärme als Stellsignal erzeugt werden kann, wird nun folgender "Trick" angewendet:

Konkret: Die neutrale Position für u wird nicht mehr damit gleichgesetzt, dass keine Wärme erzeugt wird, sondern sie wird auf einen mittleren Wert der Wärmezufuhr nach oben verlegt. Anstatt also das Stellsignal u mit der mittleren Spannung UU gleichzusetzen, die auf den Heizwiderstand gegeben wird, soll gelten: UU = a*u + b. Dabei sind a und b konstante positive Werte.

Zudem wird das schon im Testat aufgetauchte Vorgehen beibehalten, dass auch die Regelgröße y nicht einfach mit der gemessenen Temperatur TT gleichgesetzt wird, sondern es muß diejenige Raumtemperatur Toffset voher von TT abgezogen werden, die sich ergibt, wenn UU=b ist (vergl. oben). Es soll also gelten: y = TT - Toffset.

Desweiteren gilt es zu beachten: Die Möglichkeit die erzeugte Wärme einzustellen, ist darauf beschränkt, ein so genanntes Pulsweiten moduliertes Signal (PWM) auf den Gate-Eingang des Leistungs-MOSFETs zu geben, das im Zahlenbereich 0 bis 255 liegen kann. Naheliegenderweise wird deshalb nicht mehr die Wärme oder die elektrische Spannung als Stellsignal angesehen, sondern dieses PWM-Signal. Und um damit die Sache mit dem Arbeitspunkt zu realsieren, wie sie weiter oben beschrieben wird, setzt man sinnvollerweise PWM=127 als Arbeitspunktverschiebung, also u = -127...+127, aber PWM = u+127.

Praktisch wird das PWM-Signal mit Hilfe der Funktion analogWrite(...) auf den Heizwiderstand gebracht. Wird nun vorausgesetzt, dass PWM einen Wert enthält, der zwischen 0 und 255 liegt, dann steht in der loop-Funktion irgendwo: analogWrite(9,PWM); und damit die LED ebenfalls die aktuelle Höhe des Stellsignals als Helligkeit anzeigt, kann noch ergänzt werden: analogWrite(10,PWM);

... und genau dafür finden Sie in dieser Übung nun ein praktisches Beispiel. Anstatt dass wir uns darauf versteifen, in die Regelstrecke Wärme als Stellsignal einzubringen und die Temperatur als Regelgröße anzusetzen, betrachten wir beides als Signale und führen eine Vorverarbeitung dieser Signale durch. Dies geschieht so weit, dass wir am Ende als Stellsignal für die Regelstrecke ein u verwenden, das zwischen -127 und 128 liegt und dem um -127 verschobenen PWM-Signal entspricht. Und anstatt direkt die Temperatur so zu nehmen, wie sie der Sensor liefert, wird ersatzweise ein Wert verwendet, von dem erst noch die Temperatur abgezogen wird, die sich nach einiger Zeit einstellt, wenn man u=0, d.h. PWM=127 setzt. Dies alles wird nachfolgend noch in ein Bild gefasst:

Greifen Sie auf alle Angaben zur Schaltung und zu Programmiertechniken zurück, die bereits hier ausgeführt wurden:

Das Einstellen des kritischen Zustandes ist bei dem hier vorliegenden sehr langsamen Prozeß etwas mühselig.

Eine Alternative besteht darin, eine Sprungantwort aufzuzeichnen und das zweite Verfahren nach Ziegler und Nichols zu verwenden.

Gerade weil wir schon gesehen haben, dass die Sprungantwort eine Wendestelle hat, bietet sich dieses zweite Verfahren hier an:

Beachten Sie dabei:

Zur Konsolidierung der doch recht vielen neuen Inhalte, soll die heutige Unterrichtseinheit mit einer Übung beginnen. Im Anschluß beginnen wir damit, die Bedeutung von Eigenwerten zur Auslegung der Regler für lineare dynamische zu ergründen.

1a)

1b)

1c)

1d)

1e) Nachfolgend sind die Laplace-Transformierten einer Regelstrecke G(s) und eines Reglers R(s) dargestellt.

Nehmen Sie sich erneut das System von 1e) vor.

2a)

2b)

2c)

Verdeutlichen Sie sich durch Zeichnen eines Blockschaltbildes:

#1

Gegeben sei ein linearer Schwinger mit Dämpfer. Dessen Parameter lauten:

Je nach Ihrer eigenen Einschätzung, würden Sie obige Aufgabe selbsttätig lösen, oder aber gemeinsam im Unterricht, um sie dann im Anschluß erneut selber mit veränderten Parametern durchzurechnen.

Veränderte Parameter für einen zweiten Durchgang durch alle Übungsschritte:

Die Aufgaben bei Moodle konzentrieren sich auf die regelungstechnische Theorie. In der Prüfung wird dieser Teil etwas reduziert zugunsten von Aufgaben und Fragen zu Scilab, Laplace-Transformation und zur technischen Realisierung eines Regelkreises mittels eines Mikrocontrollers, wie im Testat.

1) Schreiben Sie die Systemmatrix in Scilab-Schreibweise folgender Differentialgleichung hin:

2) Formulieren Sie die Übertragungsfunktion zu obigem System (x Output / u Input) mittels syslin in Scilab-Syntax.

3) Unter der praktischen Umsetzung zu Ziegler-Nichols, finden sich folgende Codezeilen:

Sie finden das vollständige Programm hier:

Erklären Sie jede dieser Codezeilen.

Was müßte man ändern, wenn nur ein P-Regler mittels ZN ausgelegt würde, aber sonst alles gleich bliebe? Geben Sie dabei auch den genauen Wert an, der sich dann für den Verstärkungsfaktor K ergibt (siehe Originalquelltext).

4) Verständnisfragen: