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© Guido Kramann

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6.2 Heuristische Suchstrategien

  • Günstige Parameter für beispielsweise einen PID-Regler von Hand zu finden ist oft schwierig.
  • Es wäre wünschenswert diesen Vorgang zu automatisieren.
  • Bei komplexeren Systemen existiert häufig nicht ein einziges Optimum.
  • Es sind of eine Vielzahl an Parametern zu variieren und es gibt viele lokale Minima im Parameterraum.
  • Ferner ist häufig keine analytische Güte-Funktion F angebbar.
  • Vielmehr kann immer nur der Wert von F(xakt) für einen bestimmten Parameter-Vektor xakt bestimmt werden.
  • Heuristiken sind hierfür geeignete automatisierte Suchverfahren.
  • Heuristische Suchverfahren nutzen das bekannte Wissen über das System aus, um geeignete Richtungen für die Suche zu identifizieren.
  • Einige Methoden:
  • Parameterstudie (Trial and Error)
  • Modifiziertes Gradientenverfahren
  • Genetische Algorithmen

Parameterstudie

  • Angenommen wir wollten für den PID-Regler eine Parameterstudie durchzuführen.
  • Wir würden für jeden der drei Parameter zunächst einen kleinsten und größt-möglichen Wert festlegen.
  • Dann würde man diese drei Bereiche in äquidistante Teile gliedern.
  • Für jede Kombination dieser gerasterten möglichen Parametereinstellungen würde man dann eine Simulation durchführen und den jeweiligen Wert der Fehlerfunktion F bestimmen.
  • Man erhält so in diesem Fall eine grob gerasterte dreidimensionale Verteilung für F im Parameterraum.
  • Nun könnte man in viel versprechenden Bereichen die Rasterung verfeinern und in geringeren Abständen im Parameterraum weitere Simulationen durchführen.
  • Damit erhielte man schließlich einige gute Kombinationen für K, TN und TV.

Modifiziertes Gradientenverfahren

  • Man bestimmt zunächst F für einen Startpunkt xakt für K, TN und TV.
  • Nun bestimmt man F für Punkte, die äquidistant auf einer kleinen Sphäre um xakt herum liegen, z.B. zu diesem Startpunkt die äquidistanten Punkte in Richtung der Koordinatenachsen.
  • Aus den Differenzen der F-Werte der Sphärenpunkte zu dem Startpunkt, ergeben sich grobe Gradientenvektoren.
  • Man wählt die Richtung mit der stärksten Verkleinerung des F-Wertes aus.
  • Man normiert den entsprechenden Richtungsvektor und multipliziert ihn mit einem kleinen Faktor α.
  • Das ist dann der Weg, den man vom alten Punkt aus geht.
  • Am neuen Punkt wir das Verfahren wiederholt usw.
  • Abbruchkriterium z.B.: Der Abstand zwischen neuem und altem Punkt wird kleiner, als die Genauigkeitsgrenze, mit der sich die zu optimierenden Parameter einstellen lassen.
  • Das Verfahren in dieser Form kann dazu führen, dass es in einem nicht optimalen lokalen Minimum endet.
  • Es wäre deshalb wichtig eine ganze Reihe von Startpunkten durchzutesten.
  • So könnte eine Parameterstudie die Startpunkte für das modifizierte Gradientenverfahren liefern.
  • Damit das Verfahren konvergiert, darf α, also der Abstand zwischen alter und neuer Position nicht zu groß gewählt werden.
  • Es macht Sinn, α gegen Ende des Verfahrens immer kleiner werden zu lassen, bzw. durch die Steigung des Gradientenvektors zu steuern.

Genetische Algorithmen

  • Eine generellere Methode ist es, einen genetischen Algorithmus für die Minimumssuche von F zu implementieren.
  • Unser Gen wäre beim PID-Regler der Parametervektor x mit den Komponenten K, TN und TV.
  • Eine Reihe solcher unterschiedlichen Gene, z.B. 100 liefern mehr oder weniger kleine Werte für F.
  • Für eine kommende Generation von Genen werden beispielsweise die 10 besten (kleinste F-Werte) herausgegriffen.
  • Nun rekombiniert man die zehn besten Gene um wieder auf z.B. hundert neue Gene zu kommen.
  • D.h. man nimmt das K von dem einen Gen und fügt dort noch TN und TV aus einem anderen der 10 besten Gene hinzu.
  • Damit diese genetische Evolution nicht auch in einem lokalen Minimum landet, können noch Mutationen eingeführt werden:
  • Es werden moderate zufällige Veränderungen an den Genen einer neuen Generation durchgeführt.
  • Der Mutationsgrad sollte mit fortschreitender Evolution immer weiter abnehmen, um gewoonnene positive Ergebnisse nicht wieder zu zerstören.
  • Aufgrund von Tests sollte man die Mutationsrate, die Anzahl der Gene und die Bestenauswahl so einstellen, dass das Verfahren konvergiert.