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© Guido Kramann

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5.1 Die Methode der kleinsten Quadrate


Motivation

  • Die Methode der kleinsten Quadrate dient dazu, überbestimmte Gleichungssysteme so zu lösen, dass der mittlere quadratische Fehler minimal wird.
  • Der wichtigste Anwendungsfall ist es, Formeln optimal zu parametrisieren, die den Zusammenhang zweier Größen beschreiben. Dies geschieht aufgrund von Messungen.
  • Es liegen in der Regel mehr (Fehler behaftete) Messungen vor, als es Parameter zu bestimmen gibt.
  • Das einfachste Beispiel ist ein Spezialfall der Kleinsten Quadrate Methode, nämlich die Lineare Regression, mit der eine Gerade optimal in die Punktewolke von Messungen gelegt wird.
  • Hier ist der Formelzusammenhang y = c0 + c1*x und während die Paare x und y durch Messungen vorgegeben sind, sollen die Parameter c0 und c1 optimal bestimmt werden.
  • Um das Prinip zu verstehen soll an dieser Stelle eine Herleitung der Linearen Regression, wie sie sich auf diesem Portal bei Informatik1 am Ende des Kapitels 8.2 befindet ausreichen.

Anwendungsfälle

  • Gemessen werden bei den folgenden Beispielformeln also jeweils x und das zugehörige y.
  • Die Parameter ci müssen in jedem Fall als Linearkoeffizienten vor den einzelnen von x abhägigen Termen stehen, damit die Methode anwendbar ist.
  • Sind die Koeffizienten c0 bis cn gesucht, so sollten in jedem Fall n+1, besser aber ein Vielfaches an Messungen vorliegen, damit die Methode anwendbar ist.
  • Im folgenden sind willkürliche Formeln dargestellt, für die die Methode anwendbar wäre. Stets ist y die von x abhängige Größe und ci die gesuchten Linear-Koeffizienten:
Gleichungen

Bild 5.1-1: Beispielgleichungen, deren Koeffizienten ci mit Hilfe der kleinsten Quadrate Methode aus Messungen bestimmt werden könnten.