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© Guido Kramann

Unterstützung der Berechnung der analythischen Lösung des Schwingers mit Scilab

Scilab / Matlab / Octave sind insbesondere sehr leistungsstark bei Matrizenoperationen. Viele Berechnungen, die von Hand recht mühselig zu bewältigen sind, bieten sie als Funktion an, so insbesondere:

Die folgenden und viele weitere Matrizenoperationen finden sich in der Scilab-Hilfe im Ordner "Linear Algebra". Elementare Rechenoperationen (Trigonometrie, Interpolation,...) sind unter "Elementary Functions" beschrieben.

Transponierte einer Matrix berechnen

Die transponierte einer Matrix erhält man, wenn Zeilen zu Spalten und Spalten zu Zeilen werden.
Diese "Berechnung" ist noch nicht so aufwändig.
Die Transponierte einer Matrix A erhält man durch Nachstellen eines Hochkommas A':

Startup execution:
  loading initial environment

-->A = [[1,3]',[2,4]']
 A  =

    1.    2.
    3.    4.

-->B = A'
 B  =

    1.    3.
    2.    4.

-->

Code 0-1: Transponierte bilden mit Scilab durch direkte Eingabe von Befehlen.

Determinante einer Matrix berechnen

Die Determinante bei 2x2 Matrizen zu bestimmen ist noch einfach.
Ab 3x3 Matrizen wird diese Berechnung von Hand schon recht fehleranfällig.
Der Scilab Befehl um die Determinante der Matrix A zu bestimmen lautet det(A).

-->A = [[1,3]',[2,4]']
 A  =

    1.    2.
    3.    4.

-->d = det(A)
 d  =

  - 2.

-->

Code 0-2: Determinante bilden

Inverse einer Matrix bestimmen

Die Inverse einer Matrix mit ihr selbst multipliziert ergibt die Einheitsmatrix: AA^-1
Damit läßt sich die Lösung eines linearen Gleichungssystems finden, insofern sie eindeutig existiert: Ax=b <=> Ax=Eb => AxA^-1=EbA^-1 <=> x=A^-1b
Bei Anwendung des Gauss-Algorithmus zur Lösung eines linearen Gleichungssystems entsteht nach und nach die inverse matrix auf der linken Seite:

Bild 0-1: Bestimmung der Inversen Matrix von Hand, bzw. Lösen eines linearen Gleichungssystems.

...oder schneller mit Scilab mit dem Befehl inv(A):

-->A = [[1,3]',[2,4]']
 A  =

    1.    2.
    3.    4.

-->B = inv(A)
 B  =

  - 2.     1.
    1.5  - 0.5

-->

Code 0-3: Bestimmung der Inversen Matrix

Eigenwerte einer Matrix bestimmen

Nun können wir versuchen, die analythische Berechnung der Lösung des LDGL des Schwingers mit Unterstützung von Scilab durchzuführen.
Hier müssen wir aber direkt die Parametrisierung mit C = 1m/s und m = 1kg festlegen.
Der Befehl zur Bestimmung der Eigenwerte in Scilab ist spec(A).
HINWEIS: Trennung von Zeilenvektoren mit ';', Trennung von Spaltenvektoren mit ','

-->C=1
 C  =

    1.

-->m=1
 m  =

    1.

-->A=[[0,-C/m];[1,0]]
 A  =

    0.  - 1.
    1.    0.

-->lambda = spec(A)
 lambda  =

    i
  - i

-->

Code 0-4: Bestimmung der Eigenwerte des parametrisierten Schwingers