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© Guido Kramann

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2.1 Eigenwerte der Systemmatrix

Mathematische Bedeutung der Eigenwerte und ihre Berechnung

  • Für die Systemmatrix A eines linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung dy/dt = Ay + B (y vektoriell) können die Eigenwerte bestimmt werden.
  • Mathematisch gesehen sind die Eigenwerte i.a. komplexe Linear-Faktoren, die zeigen, wie mit welchem Faktor ausgezeichnete Zustände des Systems, nämlich die Eigenvektoren, wieder in sich selbst übergehen.
  • Als Formel: Av = λEv, wobei E die Einheitsmatrix und v der zu λ gehörende Eigenvektor ist.
  • Mit der Umformung dieser Gleichung zu (A-Eλ)v=0 (Nullvektor) ergibt sich eine Berechnungsvorschrift für die Bestimmung der Eigenwerte:
  • A-Eλ=0 (Nullvektor)
  • Hat man auf diese Weise die n Eigenwerte der Systemmatrix berechnet, so kann man sie in die erste Gleichung einsetzen und versuchen, daraus n zugehörige linear unabhängige Eigenvektoren zu bestimmen.

Technische Bedeutung der Eigenwerte und ihre praktische Berechnung

  • Die meisten der hier besprochenen dynamische Systeme lassen sich als lineare DGLS erster Ordnung der obigen Form dy/dt=Ay+B modellieren, B faßt von außen wirkende Störgrößen zusammen, wie z.B. eine Kraftanregung.
  • Für Systeme mit mehr als zwei Zustandsvariablen lassen sich die Eigenwerte kaum noch analythisch bestimmen und es muß auf numerische Methoden zurückgegriffen werden, die wir noch an späterer Stelle behandeln werden.
  • Ist ein solches System schwingungsfähig, so stellen die Beträge der Imaginäranteile der Eigenwerte die Kreisfrequenzen ω=2πf der Eigenschwingungen dar.
  • D.h. bringt man das System aus der Ruhelage und überläßt es dann sich selbst, wird es mit diesen Kreisfrequenzen schwingen.
  • Je weiter rechts ein Eigenwert auf der reellen Achse liegen, desto mehr dominieren sie das System- bzw. Schwingungsverhalten.
  • Die Lage der Eigenwerte in der komplexen Ebene gibt zudem Auskunft darüber, ob es überhaupt schwingen kann und ob es stabil ist.
  • Mit stabil ist gemeint, ob es, sich selbst überlassen, wieder nach einer bestimmten Zeit in eine Ruhelage zurückkehrt.
  • Diesbezüglich gilt folgendes:
  • Alle Eigenwerte reell: System nicht schwingungsfähig
  • Mindestens ein komplexes Eigenwertpaar: System schwingungsfähig
  • Alle Eigenwerte links der imaginären Achse: System stabil
  • Mindestens ein Eigenwert rechts der imaginären Achse: System kann instabil werden.
  • Mindestens ein Eigenwert genau auf der imaginären Achse: System ist grenzstabil (schwingt z.B. zwischen zwei Ruhelagen hin und her)
  • Beispiel für grenzstabiles schwingungsfähiges System: linearer Schwinger ohne Dämpfung
  • Beispiel für stabiles schwingungsfähiges System: linearer Schwinger mit Dämpfung
  • Im folgenden sollen für den linearen Schwinger sowohl die Eigenwerte, als auch die Eigenvektoren bestimmt werden:
homogenes LDGLS erster Ordnung

Bild 2.1-1: Homogenes LDGLS erster Ordnung

Dabei enthalten die Vektoren y und dy/dt jweils n Variablen und die Matrix A besteht aus n x n konstanten Komponenten. Bei Modellen realer Systeme tritt i.A. noch ein Störvektor s auf, der explizit von der Zeit abhängige Terme enthalten kann. Er tritt auf, wenn beispielsweise von aussen auf das System Kräfte oder Momente einwirken, wie beispielsweise bei einem Rad, das Kontakt zu einem Untergrund hat, oder wenn auf ein Feder-Dämpfer-System ein Stoß einwirkt. In diesem Fall ist das LDGLS nicht mehr homogen. Und seine allgemeine Form ist dann:

inhomogenes LDGLS erster Ordnung

Bild 2.1-2: Inhomogenes LDGLS erster Ordnung (homogenes LDGLS mit Störterm)

Die Lösung einer inhomogen DGL oder eines inhomogenen DGLS kann z.B. gefunden werden, indem zunächst alle homogenen Lösungen gefunden werden und im Anschluss durch die Methode der Variation der Konstanten eine inhomogene Lösung gefunden wird. Die Linearkombination der inhomogenen und der homogenen Lösung ist dann die allgemeine vollständige Lösung. Dies wird hier aber nicht behandelt.

Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren für den Linearen Schwinger

zu lösen:

DGLS des Schwingers

Bild 2.1-4: DGLS des Schwingers

Eigenwerte bestimmen:

Bestimmung der Eigenwerte

Bild 2.1-5: Bestimmung der Eigenwerte

Eigenvektoren bestimmen:

Bestimmung des ersten Eigenvektors

Bild 2.1-6: Bestimmung des ersten Eigenvektors w1

  • Analog ergibt sich für den zweiten Eigenvektor:
Bestimmung des zweiten Eigenvektors

Bild 2.1-7: Bestimmung des zweiten Eigenvektors w2

Lineare Unabhängigkeit der Eigenvektoren überprüfen:

Nachweis der linearen Unabhängigkeit der Eigenvektoren

Bild 2.1-8: Nachweis der linearen Unabhängigkeit der Eigenvektoren

  • Wie erwartet, ist das System grenzstabil.