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© Guido Kramann

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1.4 Modell für das Flächenwachstums von Seerosen in einem Teich

Die meisten Systeme in der Natur lassen sich mit Hilfe von Differentialgleichungen modellieren.

Um einen Eindruck davon zu bekommen, was das heisst, wird hier ein einfaches Beispiel für ein solches Modell besprochen.

Stellen Sie sich einen sehr grossen Teich vor, dessen Oberfläche zu einem gewissen Prozentsatz mit Seerosen bedeckt ist.

Seerosenteich

Bild 1.4-1: Seerosenteich

Wir gehen bei der Modellierung empirisch vor und sagen uns:

  • Da die aktuelle weitere Vergrößerung der mit Seerosen bedeckten Teich-Fläche letztendlich durch Zellteilung in den Seerosen bewirkt wird, nehmen wir an, dass diese Wachstumsrate proportional zur Anzahl der aktuell vorhandenen Zellen und diese wiederum proportional zur schon vorhandenen Fläche ist.
  • Mit der Wachstumsrate meinen wir, die positive Änderung der Fläche, die die Seerosen auf der Teichoberfläche bilden pro Zeiteinheit, also die Änderungsgeschwindigkeit der Fläche.
  • Wir bezeichnen nun die Gesamtfläche, die die Seerosen bilden mit A für Area.
  • Die zeitliche Änderung von A ist dann mathematisch als Differential ausgedrückt: dA/dt
  • Da wir den Teich nicht so genau kennen, führen wir einen unbekannten Parameter k ein, der angibt, wie stark das Wachstum ist. k würden wir aus Messungen am Teich bestimmen.
  • Hieraus erhalten wie eine Modellgleichung für das Flächenwachstum der Seerosenfläche auf dem Teich:
Wachstumsgleichung

Bild 1.4-2: Modellgleichung für das Flächenwachstum der Seerosen auf dem Teich.

Zeitliche Ableitungen schreiben wir in Zukunft einfach mit Punkt. Alternative Schreibweise der gleichen Formel:

Wachstumsgleichung

Bild 1.4-3: Modellgleichung für das Flächenwachstum der Seerosen auf dem Teich (alternative Schreibweise).