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© Guido Kramann

Modellierung des mechanischen Teilmodells

Die Gleichungen des mechanischen Teils des Modells, kann mit Hilfe der Newton-Eulerschen Gleichungen gewonnen werden.
Die Modellierungstiefe soll in unserem Beispiel recht gering sein.
D.h. es wird Gebrauch von einer ganzen Reihe an Vereinfachungen gemacht, die aber zur Behandlung der hier untersuchten Fragestellungen legitim sind.
Die Modellierung erfolgt in der Ebene, da hier nur die Geradeaus-Fahrt betrachtet wird.
Rumpf und Radachse werden als Quader und Walze modelliert, da in den Modellgleichungen jeder Körper lediglich durch die drei Parameter Masse, Schwerpunktlage und Hauptträgheitsmoment bestimmt ist.
Es wird davon ausgegangen, dass bei dem behandelten Anwendungsfall kein, oder ein vernachlässigbarer Radschlupf entsteht.
Dadurch erhält man einen eindeutigen Zusammenhang zwischen Radwinkel und Radposition.

Die Verdrehwinkel von Rad und Rumpf bezüglich des feststehenden Koordinatensystems beschreiben eindeutig die Lage des Einachsers.
Aufgrund der Zwangsbedingungen liegen dann die Koordinaten der Schwerpunkte beider Körper fest.
Die Zwangsbedingungen sind also die Schwerpunktkoordinaten dargestellt in Abhängigkeit zu dem Verdrehwinkel des jeweiligen Körpers und sehen folgendermassen aus:

Bild 0-1: Zwangsbedingungen beim mechanischen Teilmodell des Einachsers

Durch Freischneiden der Körper wird deutlich, dass im Verbindungsgelenk zwischen Rad und Rumpf und an der Berührstelle des Rades am Boden Zwangskräfte auftreten.
Die Zwangskräfte verursachen auch bezüglich der Körperschwerpunkte Momente.
. Hinzu kommt das Antriebsmoment M.
Desweiteren wirken die Gewichtskräfte im Schwerpunkt des jeweiligen Körpers.
Die beiden Körper haben die Möglichkeit sich translatorisch jeweils in zwei Richtungen zu bewegen.
Die Newton-Gleichungen liefern deshalb für jeden Körper zwei Gleichungen:
Jeder der Körper hat ausserdem die Möglichkeit sich in der X/Y-Ebene um die Z-Achse zu drehen.
Deshalb ergibt sich aus den Euler-Gleichungen je eine Gleichung pro Körper.

Bild 0-2: Newton-Euler-Gleichungen für den Einachser

Wenn man als Vorbereitung für die numerische Integration der Gleichungen die Geschwindigkeiten substituiert, erhält man statt 6 DGLs zweiter Ordnung, 12 erster Ordnung.

Bild 0-3: Newton-Euler-Gleichungen als Simulationsgleichungen

Die insgesamt zwölf Größen bestehnd aus Winkeln und Schwerpunktskoordinaten und deren erste Ableitungen werden Zustandsgrößen genannt. Sie repräsentieren den Zustand des dynamischen mechanischen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Neben den ganzen Parametern, wie Massen, Trägheitsmomente, Lage der Gelenke und Schwerpunkte, benötigt man zur Integration auch immer Anfangsbedingungen.
Jede der 12 Gleichung benötigt eine. Man benötigt also die Koordinaten, die Winkel und deren jeweilige Ableitungen, also Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeiten, als Startpunkt für die Integration.
. Mit Hilfe der Zwangsbedingungen können aus den bekannten Winkeln die Koordinaten der Körper bestimmt werden. Durch einmalige Ableitung der Zwangsbedingungen ergeben sich auch die Geschwindigkeiten.

Was auch noch fehlt, um die Integration durchführen zu können, sind die Zwangskräfte. Für diese lässt sich aber ein Gleichungssystem aufstellen, das nur die zu einem Zeitpunkt bekannten Zustandsgrößen enthält.
Das Gleichungssystem für die vier Zwangskräfte kann aus den vier Newton-Gleichungen gewonnen werden:

Bild 0-4: Zwangskräfte aus Newton-Gleichungen

Man leitet zunächst die Zwangsbedingungen zum zweiten mal ab und setzt deren rechte Seite für x, bzw. y Zweipunkt in die Newton-Gleichungen ein.

Bild 0-5: Zwangsbedingungen

Dann löst man noch die Eulergleichungen nach den zweiten Ableitungen der Winkel auf und setzt auch diese rechten Seiten für die zweiten Ableitungen in den umgeformten Newton-Gleichungen ein.

Bild 0-6: Eulergleichungen eingesetzt.

Damit hat man alle zweiten Ableitungen der Zustandsgrößen eliminiert und erhält ein Gleichungessystem mit vier Unbekannten und vier Gleichungen, das die Zwangskräfte liefert.

Bild 0-7: LGS für Zwangskräfte

Bei der numerischen Integration, also bei der Simulation, werden nun vor jedem Integrations-Schritt die Zwangskräfte berechnet und in die Simulationsgleichungen eingesetzt.

Bild 0-8: Gesamtschema für die Simulation.