Koordinatentransformation
- Wir wollen allgemein zeigen, wie man Koordinaten in einem Koordinatensystem
in Koordinaten in einem anderen umrechnen kann.
- Zunächst sei ein Koordinatensystem
I' gegenüber I nur um rI,I'I
verschoben, aber nicht verdreht.
- r sei in den Koordinaten des Koordinatnsystems I dargestellt.
- Das wird angezeigt durch das hochgestellte
I.
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Bild 0-1: Translatorische Verschiebung von I' gegenüber I um Vektor r.
- Angenommen ein Punkt P' sei im I' Koordinatensystem dargestellt.
- Man erhält dann
PI aus PI' mit:
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PI = rI,I'I + PI'.
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- Nun sei das Koordinatensystem
I' um den Winkel φ gegenüber I
verdreht.
- φ ist im Koordinatensystem
I dargestellt.
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Bild 0-2: Rotation von I' gegenüber I um den Winkel φ.
- Ein Punkt in einem orthogonalen Koordinatensystem ergibt sich aus der Summe der Produkte zwischen den Skalaren x mal ex und y mal ey
- Transformiert man die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen des gedrehten Systems I' nach I, so ergeben sich die Koordinaten von P' im nicht gedrehten Koordinatensystem aus dem
Produkt der Skalaren x und y mit den gedrehten Einheitsvektoren.
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Bild 0-3: Darstellung von Punkt P mit Hilfe der Einheitsvektoren.
- Die Rücktransformation von P' nach P kann deshalb mit Hilfe der Einheitsvektoren der Koordinatenachsen von I' dargestellt in I erfolgen:
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Bild 0-4: Herleitung der Transformationsmatrix, um Punkte in verdrehten Koordinatensystemen im nicht verdrehten darstellen zu können.