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© Guido Kramann

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3.1 Koordinatentransformation

  • Wir wollen allgemein zeigen, wie man Koordinaten in einem Koordinatensystem in Koordinaten in einem anderen umrechnen kann.
  • Zunächst sei ein Koordinatensystem I' gegenüber I nur um rI,I'I verschoben, aber nicht verdreht.
  • r sei in den Koordinaten des Koordinatnsystems I dargestellt.
  • Das wird angezeigt durch das hochgestellte I.
Translation

Bild 3.1-1: Translatorische Verschiebung von I' gegenüber I um Vektor r.

  • Angenommen ein Punkt P' sei im I' Koordinatensystem dargestellt.
  • Man erhält dann PI aus PI' mit:
  • PI = rI,I'I + PI'.
  • Nun sei das Koordinatensystem I' um den Winkel φ gegenüber I verdreht.
  • φ ist im Koordinatensystem I dargestellt.
Rotation

Bild 3.1-2: Rotation von I' gegenüber I um den Winkel φ.

  • Ein Punkt in einem orthogonalen Koordinatensystem ergibt sich aus der Summe der Produkte zwischen den Skalaren x mal ex und y mal ey
  • Transformiert man die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen des gedrehten Systems I' nach I, so ergeben sich die Koordinaten von P' im nicht gedrehten Koordinatensystem aus dem Produkt der Skalaren x und y mit den gedrehten Einheitsvektoren.
Transformation

Bild 3.1-3: Darstellung von Punkt P mit Hilfe der Einheitsvektoren.

  • Die Rücktransformation von P' nach P kann deshalb mit Hilfe der Einheitsvektoren der Koordinatenachsen von I' dargestellt in I erfolgen:
Transformation

Bild 3.1-4: Herleitung der Transformationsmatrix, um Punkte in verdrehten Koordinatensystemen im nicht verdrehten darstellen zu können.