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© Guido Kramann

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4 Herleitung für die Simulationsgleichungen eines Doppelpendels

doppelpendel_vrml.zip - Entwicklung einer Musterlösung für die Animation des Doppelpendels.
Doppelpendel mit Schnittkräften

Bild 4-1: Doppelpendel mit Schnittkräften

Aufstellen der Newton-Eulerschen Gleichungen

  • Alle Formeln werden bzgl. des Inertialkoordinatensystems aufgestellt.
  • Kräfte und Momente in den Eulergleichungen werden bzgl. des Schwerpunktes des jeweiligen Körpers aufgestellt.
Die sechs Newton-Eulerschen Gleichungen des Doppelpendels

Bild 4-2: Die sechs Newton-Eulerschen Gleichungen des Doppelpendels

  • Die Kreuzprodukte für die Momente in den Eulergleichungen führen zu:
Eulergleichungen

Bild 4-3: Eulergleichungen

Darstellung der Zustandsgrößen und deren erste und zweite Ableitung in Abhängigkeit der Minimalkoordinaten

  • Der besseren Übersicht halber werden zunächst folgende Hilfsvariablen eingeführt:
Hilfsvariablen

Bild 4-4: Hilfsvariablen

  • Als Beziehungen zwischen den Minimalkoordinaten φ und γ und den Schwerpunktskoordinaten ergibt sich dann:
Translatorische Zustandsgrößen mit Minimalkoordinaten dargestellt

Bild 4-5: Translatorische Zustandsgrößen mit Minimalkoordinaten dargestellt

Aufstellen des LGS zur Berechnung der Zwangskräfte

  • Die Gleichugen 5) und 6) werden nach den zweiten Ableitungen von φ und γ aufgelöst.
  • Das Ergebnis hiervon wird in 7), 8), 9) und 10) eingesetzt.
  • Das Ergebnis hiervon wird für die zweiten Ableitungen von x1, y1, x2, y2 in 1) , 2) , 3) , 4) eingesetzt
  • In Matrixschreibweise ergibt sich hieraus folgendes LGS zur Bestimmung der Zwangskräfte:
  • Man beachte: Die Zustandsgrößen und deren erste Ableitungen stehen zu einem bestimmten Zeitpunkt, zu dem die Zwangskräfte bestimmt werden zur Verfügung.
LGS zur Bestimmung der Zwangskräfte

Bild 4-6: LGS zur Bestimmung der Zwangskräfte

  • Hinweis: Das LGS der Zwangskräfte wird nicht allgemein gelöst, sondern in jedem Zeitschritt der Integration für konkrete Zahlenwerte mit einem Lösungsverfahren bestimmt.

Überführen der Newton-Eulerschen Gleichungen in ein DGLS 1. Grades

  • Die Darstellung der Funktion f in dy/dt = f(y,t) kann hier folgendermassen geschehen:
  • Hinweis: Die Verwendung der Hilfsvariablen KK, LL, MM, NN eignet sich nicht nur zur kompakteren Darstellung, sondern auch zur Einsparung von Rechenoperationen bei der Simulation.
Rechte Seite des DGLS

Bild 4-7: Rechte Seite des DGLS

  • Das LGS der Zwangskräfte und die Rechte Seite zusammen beschreiben das komplette Modell und sind damit Grundlage für die numerische Integration des Modells.