Einfacher Feder-Masse-Schwinger
Das einfachste schwingungsfähige System, ist der s.g. lineare Feder-Masse-Schwinger. Er kommt in dieser Reinform nicht vor. Sein Modell hilft aber über ihm ähnelnde Systeme treffende Aussagen zu machen.
Beispiele für Systeme, die angenähert bei entsprechenden Fragestellungen durch einen Feder-Masse-Schwinger beschrieben werden können: Federwaage, Autositz, Radaufhängung am Auto, Relaiskontakt mit Rückholfeder, Rückstossdämpfung in Bolzensetzgeräten, etc.
Bei all diesen Systemen empfiehlt es sich im Modell neben der federnden Komponente auch eine dämpfende mit einzubeziehen. Zunächst jedoch betrachten wir ein Feder-Masse-System ohne Dämpfung:
Für die folgenden Berechnungen nehmen wir an, unser Schwinger würde sich senkrecht zur Gravitationsrichtung bewegen.
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Der Koordinatenursprung wird so gelegt, dass die Feder gerade entspannt ist, wenn der Masseschwerpunkt bei x=0m liegt.
Bild 0-1: Horizontal gelagerter Feder-Masse-Schwingers ohne Dämpfung.
Zum Aufstellen der Bewegungsgleichung nach Newton, wird die Masse freigeschnitten und die an ihr angreifenden Kräfte angetragen:
Das Prinzip des Freischneidens der einzelnen starren Körper ist das grundsätzliche Vorgehen, um in der Maschinendynamik zu den Gleichungen eines Systems zu kommen. Pro Körper ergibt sich im Eindimensionalen je eine Gleichung. Im Zwei- und Dreidimensionalen, wenn zudem Drehungen der Körper erlaubt sind, ergeben sich, wie wir noch sehen werden, pro Körper 3, bzw. 6 Gleichungen. Hier muss dann ein ganzes Gleichungssystem gelöst werden.
Grundsätzlich wirkt beim Freischneiden die an der entsprechenden Stelle vorhandene Kraft stets mit gleichem Betrag und Richtung an beiden Schnittebenen, aber mit gegensätzlicher Orientierung.
Grundlage bildet die Newton-sche Gleichung:
Bild 0-2: Newton-Gleichung
Das freigeschnittene System sieht nun folgendermassen aus:
Bild 0-3: Freigeschnittener Feder-Masse-Schwinger ohne Graviationseinfluß.
Dementsprechend ergibt sich die Bewegungsgleichung:
Bild 0-4: Schwingungsgleichung aus Ruhelage heraus
Um diese Differentialgleichung 2. Ordnung numerisch lösen zu können, wandeln wir sie in zwei Diffferentialgleichungen 1. Ordnung um:
Bild 0-5: v als Geschwindigkeit der Masse.
Daraus erhält man ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, das genau der obigen Differentialgleichung 2. Ordnung entspricht:
Bild 0-6: Differentialgleichungssystem erster Ordnung der Schwingungsgleichung.
In Matrizenschreibweise sieht das gleiche System folgendermassen aus:
Bild 0-7: Differentialgleichungssystem erster Ordnung der Schwingungsgleichung in Matrizenschreibweise.