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© Guido Kramann

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11.1 Mathematische Vorarbeit zum Kalmanfilter

11.1 Mathematical preparatory work for the Kalman filter (EN google-translate)

11.1 Matematyczne prace przygotowawcze do filtra Kalmana (PL google-translate)

Wahrscheinlichkeitsrechnung

probability calculation

Teoria prawdopodobieństwa

Mittelwert
Average
oznaczać

$ m = \frac { \sum _{i=1}^n x_i}{n} $

Formel 11.1-1: Mittelwert


double x[] = {1.0,2.0,3.0};
int n=3;
double m=0.0;
for(i=0;i<n;i++)
    m+=x[i];
m/=(double)n;

Code 11.1-1: Mittelwert in C++

Varianz
variance
zmienność

$ v= \frac {1}{n-1} \cdot \sum _{i=1}^n \left(x_i-m\right)^2 $

Formel 11.1-2: Varianz


Standardabweichung == Streuung
Standard deviation == scattering
Odchylenie standardowe == rozproszenie

$ s= \sqrt v $

Formel 11.1-3: S \tan dardabweichung / Streuung


Gauss-sche Normalverteilung für stetige Zufallszahlen x mit Mittelwert m und Streuung s
Gaussian normal distribution for continuous random numbers x with mean m and scattering s
Rozkład normalny Gaussa dla ciągłych liczb losowych x ze średnim m i rozproszenie s

$ f\left(x\right)= \frac {1}{s \cdot \sqrt \left(2 \cdot pi\right)}e^{- \frac {1}{2}\left( \frac {x-m}{s}\right)^2} $

Formel 11.1-4: Gauss-sche Normalverteilung.


Die Gauss-sche Glockenkurve spiegelt die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert x wieder.

The Gaussian bell curve reflects the probability of occurrence for a given value x again.

Krzywa dzwonowa Gaussa odzwierciedla prawdopodobieństwo wystąpienia dla danej wartości x ponownie.

Kovarianz
Kovarianz
Kovarianz

Cov(x,y) ist positiv, wenn x und y einen monotonen Zusammenhang aufweisen und negativ bei gegensinnig monotonem Zusammenhang.

Cov (x, y) is positive if x and y have a monotonic relationship and negative in opposite sense monotone.

Cov (x, y) jest dodatnie, jeśli x i y mają monotoniczną zależność i ujemny w przeciwieństwie do monotonu.

$ Cov\left(x y\right)= \frac { \sum _{i=1}^n {\left(x_i-m_x\right) \cdot \left(y_i-m_y\right)}}{n} $

Formel 11.1-5: Kovarianz zweier Meßreihen.


Sonderfall:

Special case:

Przypadek szczególny:

$ Cov\left(x x\right)=v $

Formel 11.1-6: Die Kovarianz einer Meßreihe mit sich selbst entspricht der Varianz.


Kovarianzmatrix
Kovarianzmatrix
Kovarianzmatrix

Für einen Vektor an Variablen wird die Kovarianzmatrix gebildet, indem die Kovarianz zwischen jeder Variable des Vektors mit jeder gebildet wird.

For a vector of variables, the covariance matrix is ​​formed by the covariance between each variable of the vector is formed with each one.

Dla wektora zmiennych macierz kowariancji jest tworzona przez kowariancja między każdą zmienną wektora jest tworzona z każdą.

Beispiel für zwei Variablen:

Example of two variables:

Przykład dwóch zmiennych:

$ Cov\left(\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}Cov\left(xx\right) & Cov\left(xy\right) \\ Cov\left(yx\right) & Cov\left(yy\right)\end{array}\right] \\ $

Formel 11.1-7: Kovarianzmatrix bei einem Vektor mit zwei Variablen x und y.


Scilab: Erzeugen von Normal verteilten Zufallszahlen mit Mittelwert m und Streuung s
Scilab: Generating normally distributed random numbers with mean m and scatter s
Scilab: Generowanie normalnie rozłożonych liczb losowych o średniej m i rozproszeniach
z = grand(1, 1, "nor", m, s);

Code 11.1-2: Scilab: Erzeugen von Normal verteilten Zufallszahlen mit Mittelwert m und Streuung s.