kramann.info
© Guido Kramann

Login: Passwort:










kramann.info
© Guido Kramann

Login: Passwort:




Mathematische Vorarbeit zum Kalmanfilter

(EN google-translate)

(PL google-translate)

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mittelwert

$ m = \frac { \sum _{i=1}^n x_i}{n} $

Formel 0-1: Mittelwert


double x[] = {1.0,2.0,3.0};
int n=3;
double m=0.0;
for(i=0;i<n;i++)
    m+=x[i];
m/=(double)n;

Code 0-1: Mittelwert in C++

Varianz

$ v= \frac {1}{n-1} \cdot \sum _{i=1}^n \left(x_i-m\right)^2 $

Formel 0-2: Varianz


Standardabweichung == Streuung

$ s= \sqrt v $

Formel 0-3: S \tan dardabweichung / Streuung


Gauss-sche Normalverteilung für stetige Zufallszahlen x mit Mittelwert m und Streuung s

$ f\left(x\right)= \frac {1}{s \cdot \sqrt \left(2 \cdot pi\right)}e^{- \frac {1}{2}\left( \frac {x-m}{s}\right)^2} $

Formel 0-4: Gauss-sche Normalverteilung.


Die Gauss-sche Glockenkurve spiegelt die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert x wieder.

Kovarianz

Cov(x,y) ist positiv, wenn x und y einen monotonen Zusammenhang aufweisen und negativ bei gegensinnig monotonem Zusammenhang.

$ Cov\left(x y\right)= \frac { \sum _{i=1}^n {\left(x_i-m_x\right) \cdot \left(y_i-m_y\right)}}{n} $

Formel 0-5: Kovarianz zweier Meßreihen.


Sonderfall:

$ Cov\left(x x\right)=v $

Formel 0-6: Die Kovarianz einer Meßreihe mit sich selbst entspricht der Varianz.


Kovarianzmatrix

Für einen Vektor an Variablen wird die Kovarianzmatrix gebildet, indem die Kovarianz zwischen jeder Variable des Vektors mit jeder gebildet wird.

Beispiel für zwei Variablen:

$ Cov\left(\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}Cov\left(xx\right) & Cov\left(xy\right) \\ Cov\left(yx\right) & Cov\left(yy\right)\end{array}\right] \\ $

Formel 0-7: Kovarianzmatrix bei einem Vektor mit zwei Variablen x und y.


Scilab: Erzeugen von Normal verteilten Zufallszahlen mit Mittelwert m und Streuung s
z = grand(1, 1, "nor", m, s);

Code 0-2: Scilab: Erzeugen von Normal verteilten Zufallszahlen mit Mittelwert m und Streuung s.