2.5 Einfacher Feder-Masse-Schwinger
Das einfachste schwingungsfähige System, ist der s.g. lineare Feder-Masse-Schwinger. Er kommt in dieser Reinform nicht vor. Sein Modell hilft aber über ihm ähnelnde Systeme treffende Aussagen zu machen.
Beispiele für Systeme, die angenähert bei entsprechenden Fragestellungen durch einen Feder-Masse-Schwinger beschrieben werden können: Federwaage, Autositz, Radaufhängung am Auto, Relaiskontakt mit Rückholfeder, Rückstossdämpfung in Bolzensetzgeräten, etc.
Bei all diesen Systemen empfiehlt es sich im Modell neben der federnden Komponente auch eine dämpfende mit einzubeziehen. Zunächst jedoch betrachten wir ein Feder-Masse-System ohne Dämpfung:
Bild 2.5-1: Schematische Darstellung eines Feder-Masse-Schwingers ohne Dämpfung, wenn der Koordinatenursprung an der Stelle liegt, wo die Feder entspannt ist.
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Zum Aufstellen der Bewegungsgleichung nach Newton, wird die Masse freigeschnitten und die an ihr angreifenden Kräfte angetragen:
Das Prinzip des Freischneidens der einzelnen starren Körper ist das grundsätzliche Vorgehen, um in der Maschinendynamik zu den Gleichungen eines Systems zu kommen. Pro Körper ergibt sich im Eindimensionalen je eine Gleichung. Im Zwei- und Dreidimensionalen, wenn zudem Drehungen der Körper erlaubt sind, ergeben sich, wie wir noch sehen werden, pro Körper 3, bzw. 6 Gleichungen. Hier muss dann ein ganzes Gleichungssystem gelöst werden.
Grundsätzlich wirkt beim Freischneiden die an der entsprechenden Stelle vorhandene Kraft stets mit gleichem Betrag und Richtung an beiden Schnittebenen, aber mit gegensätzlicher Orientierung. Da aber hier die Aufhängung starr ist und nicht weiter betrachtet wird, wird für sie keine Gleichung aufgestellt. Tatsache ist aber, dass die Federkraft bei positiver Auslenkung in X-Richtung auf die Masse in negative Richtung wirkt, also rückstellend, dass aber auf die Aufhängung eine entsprechende Kraft gleichen Betrags in positive Richtung wirkt. Im allgemeinen sind die Kräfte also vektoriell. Nur hier im eindimensionalen reicht es die mit Vorzeichen versehenen Beträge zu betrachten.
Bild 2.5-2: Freigeschnittener Feder-Masse-Schwinger.
Auf Grundlage der allgemeinen Newton-schen Gleichung...
Bild 2.5-3: Newton-Gleichung
...ergibt sich für dieses Modell als Bewegungsgleichung:
Bild 2.5-4: Schwingungsgleichung
Bestimmung der Gleichgewichtslage
Eine wichtige Größe können wir direkt für das System bestimmen, ohne eine Differentialgleichung lösen zu müssen: Die Gleichgewichtslage(n) des Systems. Das System befindet sich dort in einem statischen Gleichgewicht. D.h. die an der Masse angreifenden Kräfte heben sich gerade gegenseitig auf und die Beschleunigung wird zu Null:
Bild 2.5-5: Bestimmung der Gleichgewichtslage des Schwingers.
Wenn die Masse sich in diesem Punkt befindet und die Anfangsgeschwindigkeit Null ist, wird sie dort verharren.
Änderung des Systems durch Entfernen der Gewichtskraft
Terme in linearen Differentialgleichungen, die nicht ein Vielfaches der Zustandsgröße oder ihrer Ableitung sind, werden als Störgrößen bezeichnet. Das können z.B. am System angreifende Zeit-abhängige Kräfte und Momente sein.
In unserem Fall ist die Störgröße die Gewichtskraft.
Für die folgenden Berechnungen nehmen wir an, unser Schwinger würde sich senkrecht zur Gravitationsrichtung bewegen.
Um auch für ein Schwingsystem die Differentialgleichungen ohne zu grossen Aufwand analythisch lösen zu können, gehen wir im folgenden davon aus, dass auf die Masse in ihre Bewegungsrichtung keine Grafitation wirkt. Es wäre z.B. denkbar, dass der Schwinger liegt und durch ein idealisiert reibungsfreie Schiene gelagert wird:
Bild 2.5-6: Horizontal gelagerter Feder-Masse-Schwingers ohne Dämpfung.
Das freigeschnittene System vereinfacht sich nun folgendermassen:
Bild 2.5-7: Freigeschnittener Feder-Masse-Schwinger ohne Graviationseinfluß.
Dementsprechend vereinfacht sich die Bewegungsgleichung:
Bild 2.5-8: Schwingungsgleichung aus Ruhelage heraus
Für dieses einfache System läßt sich noch eine geschlossene Lösung der Differentialgleichung angeben. Dazu formen wir diese eine Differentialgleichung 2. Grades auf zwei Differentialgleichungen 1. Grades um. Wir führen hierzu die Geschwindigkeit als zweite Zustandsgröße des Systems ein. Für sie gilt:
Bild 2.5-9: v als Geschwindigkeit der Masse.
Daraus erhält man das Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, dass genau der obigen Differentialgleichung 2. Ordnung entspricht:
Bild 2.5-10: Differentialgleichungssystem erster Ordnung der Schwingungsgleichung.
In Matrizenschreibweise sieht das gleiche System folgendermassen aus:
Bild 2.5-10: Differentialgleichungssystem erster Ordnung der Schwingungsgleichung in Matrizenschreibweise.