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....67.13.9 Energie
67.13.7.1 Modellierung des Hängependels
  • Um einen gleichen gemeinsamen Wissensstand zu gewährleisten, wird hier noch einmal die Herleitung des mittels Regler zu beruhigenden Hängependels gebracht:
Schematische Darstellung und Freischnitt des Hängependels.

Bild 67.13.7.1-1: Schematische Darstellung und Freischnitt des Hängependels.

  • S: Schwerpunkt.
  • FG: Gravitationskraft im Schwerpunkt.
  • Fx, Fy: Lagerkraft.
  • FA: horizontale Antriebskraft.
  • Das Pendel ist reibungsfrei gelenkig gelagert.
  • Im Schwerpunkt wirkt nur die Gravitationskraft FG.
  • Das Pendel wird am unteren Ende durch eine nur horizontal wirkende Antriebskraft FA beruhigt.
  • FA ist damit die Stellgröße des später implementierten Reglers.
  • Das Pendel ist ein homogener Stab der Länge 1m, also gilt r=0,5m.
  • Das Pendel sei zylindrisch und habe einen Durchmesser von d=0.05m.
  • Die Pendelmasse m sei 1kg.
  • Das Masseträgheitsmoment bzgl. des Schwerpunktes um eine senkrecht aus der Bildebene stehende Achse berechnet sich somit zu:
Masseträgheitsmoment für das Hängependel bzgl. des Schwerpunktes.

Bild 67.13.7.1-2: Masseträgheitsmoment für das Hängependel bzgl. des Schwerpunktes.

  • Als nächstes werden die Newton-Eulerschen Gleichungen für dieses System bzgl. des Schwerpunktes aufgestellt:
Newton-Euler-Gleichungen zum Hängependel.

Bild 67.13.7.1-3: Newton-Euler-Gleichungen zum Hängependel.

  • Es lassen sich folgende Zwangsbedingungen ableiten:
Zwangsbedingungen.

Bild 67.13.7.1-4: Zwangsbedingungen.

  • Um die Zwangskräfte Fx und Fy eliminieren zu können, werden die Zwangsbedingungen in die Newton-Gleichungen eingesetzt und das Ergebnis davon in die Euler-Gleichung:
Eliminierung der Zwangskräfte und Darstellung der Modellgleichung nur in Abhängigkeit von &phi.

Bild 67.13.7.1-5: Eliminierung der Zwangskräfte und Darstellung der Modellgleichung nur in Abhängigkeit von &phi.

  • Zusammengefasst ergibt sich:
Modellgleichung.

Bild 67.13.7.1-6: Modellgleichung.