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© Guido Kramann

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18.9 Aufgewendete Arbeit und gespeicherte Energie als Kriterien zur Reglerauslegung und zur Beurteilung der Reglergüte

Gespeicherte Energie

  • Im vorangegangenen Beispiel sollte ein Pendel zur Ruhe gebracht werden.
  • Es liegt nahe, diesen Zustand als Null-Energie-Zustand festzulegen, also zu sagen, dass das in Ruhe hängende Pendel keine Energie mehr gespeichert hat.
  • Insgesamt besitzt das Pendel mehrere Energiespeicher:
  • Einen für potentielle, einen für kinetische translatorische und einen für kinetische rotatorische Energie.
  • Die insgesamt momentan gespeicherte Energie des Pendels errechnet sich aus der Summe der in den einzelnen Energiespeichern momentan vorhandenen Energie:
  • Egesamt=Epot+Ekin+Erot
  • Neben diesen Energiespeichern treten in der Mechanik oft noch in Federn gespeicherte Energien auf.
  • Achtung: Dämpfungselemente geben Energie über die Systemgrenze hinweg ab, speichern aber keine Energie.
  • Im folgenden sind die Berechnungsvorschriften für die einzelnen Energiespeicher zusammengefaßt:
Formeln zur Berechnung der gespeicherten Energie bei einzelnen Energiespeichern.

Bild 18.9-1: Formeln zur Berechnung der gespeicherten Energie bei einzelnen Energiespeichern.

  • Der zeitliche Verlauf der in einem simulierten dynamischen System gespeicherten Energie kann aus dem zeitlichen Verlauf des Systemzustandes berechnet werden.
  • Für die Bestimmung der kinetischen Energie beim Pendel muß dazu allerdings aus der aktuellen Winkelgeschwindigkeit erst die aktuelle Schwerpunktsgeschwindikeit berechnet werden:
Berechnung der aktuellen translatorischen Geschwindigkeit aus Winkel und Winkelgschwindigkeit beim Pendel (ergibt sich auch bei Zwangsbedingungen).

Bild 18.9-2: Berechnung der aktuellen translatorischen Geschwindigkeit aus Winkel und Winkelgschwindigkeit beim Pendel (ergibt sich auch bei Zwangsbedingungen).

  • Die Fehlerfunktion kann dann als der Summe der Einzelenergien integriert (bzw. diskret aufsummiert) über die Zeit bestimmt werden.
Übung
  • Modifizieren Sie die Optimierung des genetischen Optimierers für das Hängependel so, dass als Fehler in der Fehlerfunktion die über die Zeit aufsummierte im Pendel gespeicherte Gesamtenergie verwendet wird.

Aufgewendete Arbeit

Das zweitwichtigste Optimierungskriterium für einen Regler ist der Arbeitsaufwand, der notwendig ist, um einen bestimmten Zielzustand zu erreichen. Hier gibt es mehrere Möglichkeiten diese zu bestimmen. Es kann die Leistungsaufnahme bei einem elektrischen System als Grundlage genommen werden, oder die über einen bestimmten Weg aufgebrachte Kraft: (Da wir nicht zwischen negativer und positiver verrichteter Arbeit unterscheiden, d.h. bremsen oder beschleunigen, tauchen in den folgenden Formeln bei der Bestimmung der verrichteten Arbeit W Betragsstriche auf.)

Berechnung des Arbeitsaufwandes beim Regler.

Bild 18.9-3: Berechnung des Arbeitsaufwandes beim Regler.

Übung
  • Ergänzen Sie bei der Fehlerfunktion der vorangehenden Übung auch einen Term, der den mechanischen Arbeitsaufwand berücksichtigt.