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13.1 Analyse linearer Regelungssysteme

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Bevor man überhaupt an den Entwurf eines Reglers denkt, sollte überprüft werden, ob diese Strecke überhaupt geregelt werden kann. Zur Beurteilung der so genannten Regelbarkeit gibt es bei PTn-Strecken ein empririsches Kriterium.

Beurteilung der Regelbarkeit von PTn-Strecken anhand von Verzugszeit und Anstiegszeit

Zur Erinnerung: In Kapitel 7.3 (Methode 2 von Ziegler und Nichols) wurden die Verzugszeit Tu und die Anstiegszeit Ta bereits eingeführt.

  • Tu: Verzugszeit, Verzögerung der Sprungantwort der untersuchten Strecke (Schnittpunkt der Wendetangente mit der Zeitachse).
  • Ta: Anstiegszeit, Dauer ab der Verzugszeit, bis die Sprungantwort in die Sättigung geht (Schnittpunkt der Wendetangente mit der Sättigungshöhe / Verstärkungsfaktor Ks).
Beispiel: Bestimmung der charakteristischen Größen K<sub>S</sub>, T<sub>u</sub> und T<sub>a</sub> aus dem Graph der Sprungantwort für G(s)=1/(1+2s+s^2).

Bild 13.1-1: Beispiel: Bestimmung der charakteristischen Größen KS, Tu und Ta aus dem Graph der Sprungantwort für G(s)=1/(1+2s+s^2).

Bei der Beurteilung der Regelbarkeit kann das Verhältnis dieser charakteristischen Zeiten zueinander herangezogen werden:

$ Regelbarkeit= \frac {T_a}{T_u} $

Formel 13.1-1: Formel für einen numerischen Wert anhand dessen sich die Regelbarkeit von PT<sub>n</sub>-Übertragungsgliedern beurteilen läßt.


Ta/Tu Regelbarkeit
>5 gute Regelbarkeit
>2,5..5 mittlere Regelbarkeit
>1,2..2,5 schlechte Regelbarkeit
< 1,2 sehr schlechte Regelbarkeit

Tabelle 13.1-1: Tabelle zur Beurteilung der Regelbarkeit.


Mit dem Grad n des PTn-Gliedes nimmt die Regelbarkeit immer weiter ab.


  • PT1-Übertragungsglied: sehr gut regelbar.
  • PT4-Übertragungsglied: noch regelbar.
  • PT6-Übertragungsglied und darüber: sehr schlecht regelbar.
Übung
  • Bestimmen Sie die Regelbarkeit zu folgenden drei Übertragungsfunktionen nach obigem Verfahren:

$ G\left(s\right) = \frac {s+3}{\left(s+1+i\right)\left(s+1-i\right)\left(s+2\right)} $

Formel 13.1-2: Erste Strecke deren Regelbarkeit untersucht werden soll.


$ H\left(s\right) = \frac {s+3}{\left(s+0.1+i\right)\left(s+0.1-i\right)\left(s+2\right)} $

Formel 13.1-3: Zweite Strecke deren Regelbarkeit untersucht werden soll.


$ U\left(s\right) = \frac {s+3}{\left(s+1+i\right)\left(s+1-i\right)\left(s+2\right)\left(s+4+3i\right)\left(s+4-3i\right)} $

Formel 13.1-4: Dritte Strecke deren Regelbarkeit untersucht werden soll.


Hinweis: Beim Einbau eines PT2-Übertragungsgliedes in dem zuvor behandelten Fahrzeugmodell ergibt sich insgesamt ein Übertragungsglied höherer Ordnung (n=4?), woraus eine nicht gute Regelbarkeit des Gesamtsystems gefolgert werden kann.


Wenn nun die Regelbarkeit einer Strecke festgestellt wurde, folgen nun die ersten Schritte auf dem Weg zur Auswahl und Auslegung eines geeigneten Reglers.

Die Beurteilung der Güte eines Regelkreises wird im folgenden basierend auf zwei Kriterien entwickelt: dem Führungsverhalten und dem Störverhalten. Durch Variation bei der Wahl der Reglerstruktur und später der Variation der Regelparameter und Anwendung der Kriterien kann dann auch die eigentliche Reglerauslegung erfolgen.

Führungsverhalten

  • Mit Führungsverhalten ist gemeint, wie ein Regelungssystem auf Änderungen des Sollwertes reagiert.
  • Die Reaktion kann schnell oder langsam erfolgen.
  • Die Reaktion kann stabil mit geringem Überschwingen oder instabil mit sich verstärkenden Schwingungen erfolgen.
  • Die Reaktion kann in einen stationären Zustand übergehen, der genau den Sollwert trifft, oder in einen mit bleibender Regelabweichung.

Mit diesen drei Charakterisierungen der Reaktion des Reglers auf eine Sollwertänderung haben wir bereits erkenntnisreiche Erfahrungen gesammelt, insbesondere bei der Auslegung von PID-Reglern, z.B. bei dem zuletzt behandelten Fahrzeugmodell:

  • Ein P-Anteil alleine führt (angewendet auf Regelstrecken mit Ausgleich) zu einer bleibenden Regelabweichung.
  • Ein hoher D-Anteil beschleunigt die Ausregelung, kann aber ebenfals wie der P-Anteil eine bleibende Regelabweichung nicht ausgleichen.
  • Ein hoher I-Anteil führt zu einer stationären Genauigkeit, macht das Regelungssystem aber langsam und bei Überhöhung instabil.
  • Bei der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises muß die Anzahl der Polstellen größer sein, als die der Nullstellen.
  • Das Führungsverhalten kann durch einmalige oder periodische Veränderungen des Sollwertes w beobachtet werden:
Das Führungsverhalten wird beim geschlossenen Regelkreis als Verhältnis von Ausgang y zur sich ändernden Führungsgröße w beschrieben.

Bild 13.1-2: Das Führungsverhalten wird beim geschlossenen Regelkreis als Verhältnis von Ausgang y zur sich ändernden Führungsgröße w beschrieben.

  • Grundlage zur Beurteilung des Führungsverhaltens ist also das Gesamtübertragungsverhalten H(s) des geschlossenen Regelkreises.
  • Dieses ergibt sich folgendermaßen:

$ \frac {Y}{W}= \frac {R\left(s\right)G\left(s\right)}{1+R\left(s\right)G\left(s\right)} $

Formel 13.1-5: Das Führungsverhalten läßt sich am Übertragungsverhalten Y/W ablesen.



Am Führungsverhalten liest man ab, ob ein Regelsystem stabil ist und eine Sollwertänderung in einer gewünschten Maximalzeit ausregelt.


Störverhalten

Regelkreise werden vornehmlich bei Strecken eingesetzt, die Störungen unterworfen sind. Andernfalls wäre eine Steuerung ausreichend.

  • Öffnen eines Fensters bei einem Heizregelkreis,
  • variierende Untergrundbeschaffenheit im Zusammenhang der Geschwindigkeitsregelung eines Fahrzeugs,
  • Ungenauigkeiten in der Meßwerterfassung bei einer Lenkregelung...

...alle Störungen z werden in der Regelungstechnik typischerweise als direkt auf den Streckeneingang wirksam angenommen. Für die Analyse des Störverhaltens wird die Führungsgröße w außer Acht gelassen:

Analyse des Störverhaltens.

Bild 13.1-3: Analyse des Störverhaltens.

Hier ergibt sich als Gesamtübertragungsfunktion:

$ \frac {Y}{Z}= \frac {G\left(s\right)}{1+R\left(s\right)G\left(s\right)} $

Formel 13.1-6: Störverhalten.



Übung
  • Weisen Sie obige Beziehung nach.
  • Bestimmen Sie die Störübertragungsfunktionen für folgende Regelungssysteme:

$ R\left(s\right)=2 & G\left(s\right)= \frac {1}{s^2+2s+1} $

Formel 13.1-7: Regelungssystem 1.


$ R\left(s\right)=s+1 & G\left(s\right)= \frac {1}{s^2+2s+1} $

Formel 13.1-8: Regelungssystem 2.


$ R\left(s\right)= \frac {1}{s} & G\left(s\right)= \frac {1}{s^2+2s+1} $

Formel 13.1-9: Regelungssystem 3.




Am Störverhalten liest man ab, ob ein Regelungssystem auf Störungen nicht instabil reagiert.



Reglerauslegung mit Hilfe des Bodediagramms

  • Sowohl zur Beurteilung des Führungsverhaltens, als auch zu der des Störverhaltens kann der Frequenzgang des jeweils offenen Regelsystems herangezogen werden.
  • Was der Frequenzgang ist, wurde bereits behandelt: Es ist die Ortskurve in der komplexen Ebene, die sich ergibt, wenn man eine periodische harmonische Anregung iω zwischen 0 und (theoretisch) Unendlich auf das zu untersuchende System gibt.
  • Zur leichteren Analysierbarkeit und Interpretierbarkeit des Frequenzgangs wurde das Bodediagramm eingeführt, bei dem Amplituden- und Phasenverlauf des Frequenzgangs getrennt voneinander logarithmisch dargestellt werden.
  • So erhält man den Amplituden- und den Phasengang aus dem Frequenzgang:

$ |G\left(i \omega \right)|= \sqrt {Re\left(G\left(i \omega \right)\right)^2 + Im\left(G\left(i \omega \right)\right)^2} $

Formel 13.1-10: Amplitudengang.


$ \phi \left(i \omega \right)=arc \cos \left( \frac {Re\left(G\left(i \omega \right)\right)}{|G\left(i \omega \right)|} \right) $

Formel 13.1-11: Phasengang.


  • φ=-φ, wenn Im(G(i ω))<0.
  • Darstellung im Bode-Diagramm:
  • Beide Kurven werden übereinander dargestellt mit logarithmisch (log10) aufgetragener Kreisfrequenz.
  • Die Amplitude im Amplitudengang wird in Dezibel (dB) dargestellt: |G(i ω)|dB=20log10|G(i ω)|.
  • Beispiel mit Scilab:
  • Scilab unterstützt direkt die Darstellung einer ganzen Reihe an in der Regelungstechnik üblichen Darstellungen von Übertragungsgliedern.
  • Im folgenden Skript werden der Reihe nach ein Pol-Nullstellen-Diagramm, ein Nyquist-Diagramm, ein Bode-Diagramm und die Sprungantwort eines Übertragungsgliedes dargestellt.
//s als Argument für ein Polynom definieren:
s = poly(0,"s"); 
//Parameter festlegen:
K = 1; 
T = 1; 
P = 1; 
//Übertragungsfunktion definieren:
G = syslin('c',[K],[1+s*T+P*s^2]); //PT2
//G = syslin('c',[s+1],[2+s*T+P*s^2]); //Auch Nullstelle
//G = syslin('c',[K*exp(-0.5*s)],[1+s*T+P*s^2]); //PT2 mit Totzeit
//Pol-Nullstellen Diagramm zeichnen
subplot(221);
plzr(G); 
//Frequenzgang berechnen
freqmin=1; // minimale Frequenz
freqmax=1000; // maximale Frequenz
subplot(222);
nyquist(G,freqmin,freqmax); // Ortskurve über Frequenzbereich
subplot(223);
bode(G,freqmin,freqmax); // Ortskurve über Frequenzbereich
//Zeitbereich für die Simulation festlegen:
t=[0:0.01:10]; 
u=ones(1,1001);
//Sprungantwort für die gegebene Übertragungsfunktion bestimmen:
//y=csim('impuls',t,G); 
y=csim(u,t,G); 
subplot(224);
plot2d(t,y);
xtitle("Sprungantwort zu G(s) ")

Code 13.1-2: Erzeugen diverser in der Regelungstechnik gebräuchlicher Darstellungen für Übertragungsglieder.

Mit obigem Skript erzeugte Diagramme.

Bild 13.1-2: Mit obigem Skript erzeugte Diagramme.

Beurteilung der Stabilität eines geschlossenen Regelkreises anhand des Bodediagramms des offenen Regelkreises


Der offene Regelkreis sei stabil und der Amplitudengang schneide die 0dB-Linie genau einmal an der Durchtrittsfrequenz ωD, dann ist der geschlossene Regelkreis stabil, wenn im Bodediagramm des offenen Regelkreises bei der Durchtrittsfrequenz ωD eine Phasendrehung größer als -180o vorliegt.


  • Hinweis: 0db heißt: |G(i ω)|=1.
  • Der Abstand der Phase bei der Durchtrittsfrequenz φ(i ωD) zu den -180o, wird als Phasenrserve bezeichnet.

$ Phasenreserve= \phi \left(i \omega _D\right)+180^o $

Formel 13.1-1: Bestimmung der Phasenreserve.



Die Phasenreserve gibt Aufschluß über den Dämpfungsgrad des Systems, und damit, wie schnell die Ausregelung arbeitet.


Übung
  • Folgendes System stellt ein schwingungsfähiges PT2-Glied im Zeitbereich dar, wie es sich bei der Reihenschaltung zweier RC-Glieder ergibt.

$ \ddot y + 2 d \omega _0 \dot y + \omega _0^2 y = \omega _0^2 u\left(t\right) $

Formel 13.1-2: PT2-Glied im Zeitbereich.


  • Die Parameter δ und ω0 entsprechen dem Dämpfungsgrad und der Kennkreisfrequenz des Systems (s. Vorlesung 08.06.2011).
  • Angenommen, es handele sich dabei um einen geschlossenen Regelkreis. Wie sähe dann die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises aus?
  • Untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen der Phasenreserve des offenen Regelkreises und dem Dämpfungsgrad des geschlossenen Regelkreises für ω0=100rad/s.
  • Variieren Sie dazu δ und erschließen Sie mit Hilfe von Scilab dafür die Phasenreserve.
Übung
  • Bestimmen Sie, wenn möglich, über mit Hilfe von Scilab erzeugten Bode-Diagrammen die Phasenreserve für geschlossene Regelkreise deren Übertragungsfunktionen im geöffneten Fall nachfolgend angegeben sind:
  • Bei e) soll die Phasenreserve außerdem analytisch von Hand bestimmt werden.

$ G\left(s\right)= \frac {s}{s^2-s+1} $

Formel 13.1-3: a


$ G\left(s\right)= \frac {2 \cdot s}{s^2+1} $

Formel 13.1-4: b


$ G\left(s\right)= \frac {s-2}{s^2} $

Formel 13.1-5: c


$ G\left(s\right)= \frac {s+2}{s^2} $

Formel 13.1-6: d


$ G\left(s\right)= \frac {1}{s+1} $

Formel 13.1-7: e