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11 Stabilitaet von Regelsystemen

Wann weist ein dynamisches System ein stabiles Übertragungsverhalten auf?

  • Grundsätzlich ist ein dynamisches System stabil, wenn es für einen beliebigen Zeitverlauf eines begrenzten Eingangs auch einen begrenzten Ausgang liefert.
Instabiles und stabiles Übertragungsverhalten bei einem dynamischen System.

Bild 11-1: Instabiles und stabiles Übertragungsverhalten bei einem dynamischen System.

Lineare und nicht lineare Systeme

  • Lineare dynmaische Systeme lassen sich als lineare Differentialgleichungssysteme beschreiben, oder alternativ durch Übertragungsglieder G(s)=Z(s)/N(s) mit einem Zählerpolynom Z(s) und einem Nennerpolynom N(s).
  • Sowohl Nichtlinearitäten bei dem verwendeten Regler, als auch nichtlineare Eigenschaften der Regelstrecke führen zu einem nichtlinearen Verhalten eines Regelkreises.
  • Schon das Vorhandensein eines Totzeitgliedes, macht ein dynamisches System nichtlinear.
  • Schon das Vorhandensein eines Totzeitgliedes macht es damit unmöglich, die Stabilität des Systems aus der Lage der Eigenwerte zu schließen.
  • Damit auch bei einem System mit linearem Übertragungsverhalten G(s)=Z(s)/N(s) der Ausgang nicht über alle Maßen wachsen kann, es also instabil ist, muß zunächst einmal der Zählergrad m kleiner oder gleich dem Nennergrad n sein.
  • Lineare Systeme mit m<=n sind (asymptotisch) stabil, wenn die Realteile aller ihrer Eigenwerte/Polstellen negativ sind, d.h. in der linken s-Halbebene liegen.
  • Lineare Systeme mit m<=n sind grenzstabil, wenn keine Polstellen des charakteristischen Polynoms in der rechten s-Halbebene liegen, aber ein oder mehrere einfache Pole genau auf der imaginären Achse liegen.
  • Lineare Systeme mit m<=n sind instabil, wenn mindestens eine mehrfache Polstelle des charakteristischen Polynoms auf der imaginären Achse liegt, oder mindestens ein Pol in der rechten s-Halbebene liegt.
  • Diese Angaben zeigen, dass es nicht notwendig ist, alle Pole einer linearen Übertragungsfunktion zu kennen, um auf deren Stabilität zu schließen.
  • Nur die am weitesten rechts liegenden Pole, die sogenannten dominanten Pole, bestimmen das Stabilitätsverhalten.
  • Bei nichtlinearen Übertragungsfunktionen ist zudem die Bestimmung der Polstellen als Methode zur Feststellung der Stabilität des Übertragungsverhaltens gar nicht anwendbar.
  • Es existieren aber eine Reihe einfacher anzuwendender Methoden, um die Stabilität eines Übertragungsverhaltens beurteilen zu können.
  • Man kann weitergehend unterscheiden, ob ein dynamisches System für ein konstantes und oder für ein periodisches Eingangssignal stabil ist.
  • D.h. man kann unterscheiden, ob das System statisch und/oder dynamisch stabil ist.
  • Bei der Verwendung von Stabilitätskriterien ist zu beachten, ob ein Kriterium nur für lineare Systeme gilt, oder auch für nicht lineare.
  • In den folgenden Unterkapiteln wird eine kleine Auswahl an Kriterien für statische und dynamische Stabilität sowohl für lineare, als auch für nicht lineare Systeme gegeben.
Aufgabe
  • Erfinden Sie lineare Übertragungsglieder, mit denen alle qualitativ möglichen Fälle für stabiles, grenzstabiles und instabiles Verhalten abgedeckt werden.
  • Zeichnen Sie jeweils die Polstellen in der komplexen Ebene ein.

Statische Stabilität

  • Ein dynamisches System wird in einen beliebigen Anfangszustand versetzt und dann sich selbst überlassen.
  • Bei einem geregelten System erhält dabei die Führungsgröße einen konstanten Wert.
  • Strebt dann der Systemzustand einem Grenzwert entgegen, so ist das System statisch stabil.
  • Bei linearen Systemen haben wir diesen Grenzwert bereits als stationären Zustand des Systems kennengelernt.
  • Er wird bestimmt, indem man die zeitlichen Ableitungen der zugehörigen Systemgleichungen zu Null setzt.
  • Bei nicht linearen Systemen kann es mehrere Grenzwerte, oder statt dessen auch Grenzzyklen geben.
  • In einen Grenzzyklus ist ein dynamisches System übergegangen, wenn es ein begrenztes Zustandsgebiet nicht mehr verläßt und sich hierin der Zustand zyklisch verändert.

Dynamische Stabilität

  • Wird ein lineares System am Eingang mit einer periodischen Funktion u(t)=A*sin(ωt) beaufschlagt, so liefert der Ausgang nach dem Einschwingvorgang eine Sinusfunktion gleicher Frequenz, jedoch mit anderer Amplitude B und einer Phasenverschiebung φ: y(t)=B*sin(ωt+φ).
  • Klingt die Ausgangsschwingung für beliebige ω ab, oder bleibt sie in der Amplitude konstant, so ist das System dynamisch stabil.