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© Guido Kramann

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11.2 Verwendung des Nyqusitkriteriums zur Bestimmung der dynamischen Stabilität des Übertragungsverhaltens eines Regelsystems

Erstellen einer Ortskurve für ein Übertragungsverhalten

  • Das Nyquist-Verfahren basiert auf der Verwendung der Ortskurve.
  • Wie zuvor erwähnt, liefert ein lineares System bei Anregung mit einer Sinusschwingung ebenso eine Sinusschwingung mit gleicher Frequenz, jedoch anderer Amplitude und Phase.
  • Man erhält die Ortskurve, wenn für die Anregung u=u0eiωt die Kreisfrequenz ω die Frequenz Null bis Unendlich durchläuft und man dazu in der komplexen Ebene das Verhältnis von Ausgang y zu Eingang notiert.
  • An der Länge des Vektors vom Ursprung zu einem Punkt der Kurve ersieht man die Verstärkung, an der Richtung die Phasenverschiebung.
  • Für ein PT1-Glied läßt sich der Verlauf der Ortskurve noch analytisch bestimmen:
Analytische Bestimmung der Ortskurve zu einem PT1-Übertragungsglied.

Bild 11.2-1: Analytische Bestimmung der Ortskurve zu einem PT1-Übertragungsglied.

  • Umsetzung mit Scilab ohne spezielle Methoden:
w=0:0.1:100;
T=0.1;
K=1.0;
ore = K./(1+(w.*T).*(w.*T));
oim = -(K.*w.*T)./(1+(w.*T).*(w.*T));
plot(ore,oim);
a=gca();
a.isoview='on';
xtitle("Ortskurve bei periodischer Anregung eines PT1-Gliedes")
a.x_label.text = 'Re(y/u)';
a.y_label.text = 'Im(y/u)';
hl=legend(['y/u'],a=1);

Code 11.2-1: Umsetzung mit Scilab ohne spezielle Methoden

Plot der Ortskurve mit Scilab

Bild 11.2-2: Plot der Ortskurve mit Scilab

T=0.1;
K=1.0;
freqmin=0;
freqmax=10000.0;
s = poly(0,"s"); 
G = syslin('c',[K],[1+s*T]);
nyquist(G,freqmin,freqmax);

Code 11.2-2: Umsetzung mit Scilab mit der Funktion "nyquist"

Plot der Ortskurve mit Scilab unter Verwendung von

Bild 11.2-3: Plot der Ortskurve mit Scilab unter Verwendung von "nyquist"

Kritischer Punkt

  • Aussagen über die Stabilität werden beim Nyquist-Kriterium anhand der Ortskurve in Bezug auf den s.g. Kritischen Punkt getroffen.
  • Der Kritische Punkt in der Komplexen Ebene liegt auf der reellen Achse bei -1 und bezeichnet ein Verhältnis zwischen Ausgang zu Eingang (y/u), bei dem eine Phasendrehung um 90o stattgefunden hat bei einer Verstärkung von 1.

Vereinfachtes Nyqusitkriterium

  • Ein Regelkreis ist stabil, wenn die Ortskurve des offenen Regelkreises bei ihrem Verlauf in Abhängigkeit der von Null ansteigenden beliebig anwachsenden ω-Werte rechts des kritischen Punktes bleibt.
  • Wenn man also in Richtung steigendes &omage; auf der Kurve entlangwandert, bleibt der kritische Punkt links davon liegen.
Illustration des vereinfachten Nyqusitkriteriums

Bild 11.2-4: Illustration des vereinfachten Nyqusitkriteriums

  • Das vereinfachte Nyqusitkriterium ist anwendbar,
  • wenn maximal zwei Polstellen des offenen Regelkreises auf der imaginären Achse liegen und alle anderen in der linken Halbebene.
  • Das Nyquistverfahren ist auch bei Regelkreisen anwendbar, deren offene Kreise Totzeitglieder enthalten.

Allgemeine Form des Nyquistkriteriums

  • Ein Regelkreis ist stabil, wenn bei dem offenen Regelkreis der stetige Anteil der Drehung des Verbindungsvektors vom Kritischen Punkt zu den Punkten der Ortskurve beim Durchlaufen der Ortskurve von ω=0 bis Unendlich, eine Winkeländerung von genau Δφ=nπ+mπ/2 durchläuft.
  • n: Pole des offenen Kreises mit positivem Realanteil.
  • m: Pole des offenen Kreises auf der imaginären Achse.
  • (Unstetige) Sprünge des Winkelverlaufs werden außer Acht gelassen.
Aufgaben
  • Bestimmen Sie analytisch Real- und Imaginärteil der Ortskurve für folgendes Übertragungsverhalten.
  • Versuchen Sie die Ortskurve von Hand zu skizzieren.
  • Stellen Sie dann die Ortskurve in Scilab dar.
  • a) G(s) = 1/(s+1)
  • b) G(s) = 1/(s-1)
  • c) G(s) = 1/(s-0.5)
  • d) G(s) = 1/(s^2+1)
  • e) G(s) = (1+s)/(s^2+1)
  • f) G(s) = 1/(s^2+2s+1)
  • g) G(s) = s/(s+1)
  • h) G(s) = 1/(s^2+0.2s+5)
  • i) G(s) = e-s/(s^2+2s+1)
  • Wenn dies die Übertragungsglieder der offenen Regelkreise sind, sind dann die entsprechenden Regelkreise stabil? - Wenden Sie das Nyquist-Kriterium an.
  • Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse durch zusätzliche Betrachtung der Polstellen des jeweils geschlossenen Regelkreises.