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10.3 Modellerweiterung des autonomen Hackenporsche mit Radeigenschaften

10.3 (EN google-translate)

10.3 (PL google-translate)

Die kombinierte Regelung von Vorwärtsantrieb und Lenkung hat sich als schwierig erwiesen. Andererseits ist das bisher verwendete Modell auch recht unrealistisch. Um dies zu ändern, wird die Eigenschaft der Räder mit berücksichtigt.

Ausgangspunkt ist ein Dreirad mit Antrieb im einzelnen Vorderrad. Jedoch lassen sich im ebenen Modell die Hinterräder zu einem zusammenfassen.

Von der Masseträgheit der Räder wird abgesehen.

Lediglich die Eigenschaft nicht gleitender Räder, dass sie alle Kräfte senkrecht zur Laufrichtung kompensieren wird in Form von Zwangskräften berücksichtigt.

Folgendes Schaubild illustriert die Struktur des Modells und legt gleich die in der Modellherleitung zu verwendenden Bezeichnungen fest:

Schaubild zur Modellerweiterung des autonomen Hackenporsche mit Radeigenschaften.

Bild 10.3-1: Schaubild zur Modellerweiterung des autonomen Hackenporsche mit Radeigenschaften.

Symbol Bedeutung
S Schwerpunkt
H zusammengefaßte Hinterachse / Hinterrad
P Vorderrad / Antriebsrad
Q Momentanpol
Ω Winkelgeschwindigkeit im Momentanpol
b Abstand zwischen S und H,sowie S und P
FH Zwangskraft Hinterrad
FRH Reibkraft Hinterrad (Lineare Dämpfung)
FP Zwangskraft Vorderrad
FRP Reibkraft Vorderrad (Lineare Dämpfung)
FA Antriebskraft Vorderrad
β Lenkwinkel
φ Verdrehung des Fahrzeugkoordinatensystems gegenüber dem Inertialkoordinatensystem
[x,y] Schwerpunktkoordinaten (ohne Indices)
m Fahrzeugmasse
J Hauptmasseträgheitsmoment des Fahrzeugs bzgl. des Schwerpunktes um die Z-Achse.

Tabelle 10.3-1: Erläuterung der im Schaubild verwendeten Symbole.

Herleitung

Tip: Arbeiten Sie stets vektoriell und nicht mit der Ebenengeometrie.


Die Herleitung erfolgt in fünf Schritten und wird in der Vorlesung und der Übung durchgeführt.

0. Nützliche Beziehungen

$ T=\left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right] $

Formel 10.3-1: Transformationsmatrix für die Drehung von I' \\ nach I.


$ \vec o _P ^I = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T \vec o _P ^{I ^{\prime} } $

Formel 10.3-2: Transformation eines Punktes vom Körpersystem in das Inertialkoordinatensystem.


$ \vec o _P ^{I ^{\prime} } = T ^{\prime} \left( \vec o _P ^I - \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]\right) $

Formel 10.3-3: Transformation eines Punktes vom Inertialkoordinatensystem in das Körpersystem.


$ \frac {d}{dx}{ \tan \left(x\right)}= \frac {1}{ \cos ^2 x} = 1+ \tan ^2 x \\ $

Formel 10.3-4: Ableitung von Tangens nach x.


$ \frac {d}{dx}{cot\left(x\right)}= - \frac {1}{ \sin ^2 x} = -1-cot ^2 x \\ $

Formel 10.3-5: Ableitung von Co \tan gens nach x.


Schaubild zur Beziehung zwischen Kreisgeschwindigkeit und Winkeleschwindigkeit.

Bild 10.3-2: Schaubild zur Beziehung zwischen Kreisgeschwindigkeit und Winkeleschwindigkeit.

$ \vec \omega = \vec r x \vec v $

Formel 10.3-6: Vektor der Winkelgeschwindigkeit errechnen.


$ \vec v = \vec \omega x \vec r $

Formel 10.3-7: Vektor der Kreisgeschwindigkeit errechnen.


$ \Omega = \dot \phi $

Formel 10.3-8: Winkelgeschwindigkeit des Momen \tan pols entspricht Winkelgeschwindigkeit des Schwerpunktes.



Übung: Beweisen Sie, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren jeweils das gleiche Ergebnis liefert, unabhängig davon, ob die Berechnung im Inertial- oder im Körpersystem durchgeführt wird.


$ \vec u ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}a \\ b\end{array}\right] \vec v ^{\prime} =\left[\begin{array}{cc}c \\ d\end{array}\right] $

Formel 10.3-9: Zwei allgemeine Vektoren im Körperkoordinatensystem definieren.


$ u ^{\prime} x v ^{\prime} = ad-bc $

Formel 10.3-10: Deren Kreuzprodukt bilden.


$ \left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a \\ b\end{array}\right] x \left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}c \\ d\end{array}\right]=ad-bc $

Formel 10.3-11: Beide Vektoren in das Inertialkoordinatensystem transformieren und hier auch das Kreuzprodukt bilden.


1. Kinematik: Bestimmung der ausgezeichneten Punkte im Inertialkoordinatensystem

$ \vec o _S = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] $

Formel 10.3-12: Schwerpunkt im Intertialkoordinatensystem.


$ \vec o _H = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T\left[\begin{array}{cc}-b \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.3-13: H \int erachspunkt H im Intertialkoordinatensystem.


$ \vec o _P = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T\left[\begin{array}{cc}b \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.3-14: Vorderachspunkt P im Intertialkoordinatensystem.


$ \left[\begin{array}{cc}-b \\ 0\end{array}\right] + a\left[\begin{array}{cc}0 \\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}b \\ 0\end{array}\right] + c\left[\begin{array}{cc}- \sin \beta \\ \cos \beta \end{array}\right] $

Formel 10.3-15: Bestimmungsgleichung für den Momen \tan pol im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ a = \frac {2b \cos \beta }{ \sin \beta } $

Formel 10.3-16: Lösung für a.


$ c = \frac {2b}{ \sin \beta } $

Formel 10.3-17: Lösung für c.


$ o _Q ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}-b \\ \frac {2b \cos \beta }{ \sin \beta } \end{array}\right] $

Formel 10.3-18: Momen \tan pol im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ o _Q = \left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right] + T o _Q ^{\prime} $

Formel 10.3-19: Momen \tan pol im Inertialkoordinatensystem.


2. Darstellung der Zwangs- und Reibkräfte

$ \vec F _H ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}0 \\ F _H \end{array}\right] $

Formel 10.3-20: Zwangskraft F H im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ \vec F _H= \left[\begin{array}{cc} - F _H \sin \phi \\ F _H \cos \phi \end{array}\right] $

Formel 10.3-21: Zwangskraft F H im Inertialkoordinatensystem


$ \vec F _P ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc} - F _P \sin \beta \\ F _P \cos \beta \end{array}\right] $

Formel 10.3-22: Zwangskraft F H im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ \vec F _P= T \vec F _P ^{\prime} $

Formel 10.3-23: Zwangskraft F H im Inertialkoordinatensystem


$ \vec F _{RH} ^{\prime} = -D \vec \omega x \vec r _{QH} ^{\prime} = -D \left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right] x \left[\begin{array}{cc} 0 \\ - 2b \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 0\end{array}\right] = -D\left[\begin{array}{cc}2b \dot \phi \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 0 \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.3-24: Bestimmung der Reibkraft im Punkt H im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ \vec F _{RP} ^{\prime} = -D \vec \omega x \vec r _{QP} ^{\prime} = -D \left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right] x \left[\begin{array}{cc} 2b \\ -2b \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 0\end{array}\right]=-D\left[\begin{array}{cc}2b \dot \phi \frac { \cos \beta }{ \sin \beta } \\ 2b \dot \phi \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.3-25: Bestimmung der Reibkraft im Punkt H im Fahrzeugkoordinatensystem.


$ \vec F _A = \left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \beta & - \sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}F _A \\ 0\end{array}\right] = F _A \left[\begin{array}{cc} \cos \beta \cos \phi - \sin \beta \sin \phi \\ \cos \beta \sin \phi + \sin \beta \cos \phi \end{array}\right] $

Formel 10.3-26: Vektor der Antriebskraft im Inertialkoordinatensystem.


3. Aufstellen der Newton-Euler-Gleichungen

$ m \left[\begin{array}{cc} \ddot x \\ \ddot y\end{array}\right] = \vec F _A + \vec F _H + \vec F _P + \vec F _{RH} + \vec F _{RP} $

Formel 10.3-27: Newton-Gleichung in x-Richtung.


$ J \ddot \phi = \vec r _{SH} ^{\prime} x \vec F _H ^{\prime} + \vec r _{SP} ^{\prime} x \left( \vec F _A ^{\prime} + \vec F _P ^{\prime} + \vec F _{RP} ^{\prime} \right) $

Formel 10.3-28: Eulergleichung im Inertialkoordinatensystem unter Ausnutzung der Tatsache & dass Kreuzprodukte im Körpersystem identisch mit denen im Inertialsystem \sin d.


4. Aufstellen der Zwangsbedingungen

  • 1. Schritt: Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Schwerpunktgeschwindigkeit herstellen:

$ \left[\begin{array}{cc}\dot x \\ \dot y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right]x\left(T \left(- \vec o _Q ^{\prime} \right)\right) $

Formel 10.3-29: Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Schwerpunktgeschwindigkeit


  • 2. Schritt: Zeitliche Ableitung, um es in die linke Seite der Newton-Gleichungen einsetzen zu können:

$ \left[\begin{array}{cc}\ddot x \\ \ddot y\end{array}\right] = \frac {d}{dt} \left(\left[\begin{array}{cc}0 \\ 0 \\ \dot \phi \end{array}\right]x\left(T \left(- \vec o _Q ^{\prime} \right)\right)\right) $

Formel 10.3-30: Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Schwerpunktgeschwindigkeit


5. Herleiten der Bestimmungsgleichungen für die Zwangskräfte

  • 3. Schritt Ersetzen der Winkelbeschleunigung durch die rechte Seite der Eulergleichung, dann Bestimmen der Zwangskräfte FH und FP.

6. Untersuchung des Übergangs zwischen Kurven- und Geradeausfahrt