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10.1 Herleitung der dynamischen Gleichungen für den "autonomen Hackenporsche"

10.1 (EN google-translate)

10.1 (PL google-translate)

Schema zum

Bild 10.1-1: Schema zum "Autonomen Hackenporsche"

  • Daten
Bezeichnung Beschreibung Wert
l Länge des Quaders 1m
b Höhe des Quaders 0,6m
c Halbe Höhe des Quaders 0,3m
m Masse des Quaders 10kg
J Hauptmasseträgheitsmoment des Quaders in Z-Richtung (1/12)m(l2+b2)
D Lineare Dämpfung in P und Q 0,1 Ns/m

Tabelle 10.1-1: Verwendete Größen

  • Newton-Euler-Gleichungen:

$ m\left[\begin{array}{cc} \ddot x \\ \ddot y\end{array}\right]= \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_{R1} + \vec F_{R2} $

Formel 10.1-1: Newton-Gleichung.


$ J \ddot \phi = \vec r_{SP} x \vec F_1 + \vec r_{SQ} x \vec F_2 + \vec r_{SP} x \vec F_{R1} + \vec r_{SQ} x \vec F_{R2} $

Formel 10.1-2: Euler-Gleichung


  • Kinematik, um Newton-Euler-Gleichungen im Inertialkoordinatensystem darstellen zu können:
  • 1. Kinematik für F1 und F2 in der Newton-Gleichung:

$ \vec F_1 ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}F_1 \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.1-3: F1 in I' \\


$ \vec F_2 ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}F_2 \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.1-4: F2 in I' \\


$ T=\left[\begin{array}{cc} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right] $

Formel 10.1-5: Transformationsmatrix für die Drehung von I' \\ nach I.


$ \vec F_1 = T\left[\begin{array}{cc}F_1 \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.1-6: Bestimmung von F1 im Intertialkoordinatensystem.


$ \vec F_2 = T\left[\begin{array}{cc}F_2 \\ 0\end{array}\right] $

Formel 10.1-7: Bestimmung von F1 im Intertialkoordinatensystem.


  • 2. Kinematik für F1 und F2 in der Euler-Gleichung:

Wirkrichtungen der Kräfte F1 und F2 sind immer senkrecht zu den Hebeln, deshalb ergibt sich:

$ \vec r_{SP} ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}0 \\ c\end{array}\right] $

Formel 10.1-8: Vektor rSP in I' \\


$ \vec r_{SQ} ^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}0 \\ -c\end{array}\right] $

Formel 10.1-9: Vektor rSQ in I' \\


$ M_1=-cF_1 $

Formel 10.1-10: Moment durch F1 im Inertialkoordinatensystem und auch im gestrichenen.


$ M_2=cF_2 $

Formel 10.1-11: Moment durch F1 im Inertialkoordinatensystem und auch im gestrichenen.


  • 3. Kinematik für FR1 und FR2 in der Newton-Gleichung:

$ \vec o_P ^{\prime} =\left[\begin{array}{cc}0 \\ c\end{array}\right] $

Formel 10.1-12: Ortsvektor nach P in I' \\


$ \vec o_Q ^{\prime} =\left[\begin{array}{cc}0 \\ -c\end{array}\right] $

Formel 10.1-13: Ortsvektor nach Q in I' \\


$ \vec o_P=\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]+T\left[\begin{array}{cc}0 \\ c\end{array}\right] $

Formel 10.1-14: Ortsvektor nach P in I


$ \vec o_Q=\left[\begin{array}{cc}x \\ y\end{array}\right]+T\left[\begin{array}{cc}0 \\ -c\end{array}\right] $

Formel 10.1-15: Ortsvektor nach Q in I


Damit ergibt sich für die Geschwindigkeiten:

$ \vec v_P=\left[\begin{array}{cc} \dot x \\ \dot y\end{array}\right]+ \frac {d}{dt}{T\left[\begin{array}{cc}0 \\ c\end{array}\right]} $

Formel 10.1-16: Geschwindigkeit von P im Inertialkoordinatensystem


$ \vec v_Q=\left[\begin{array}{cc} \dot x \\ \dot y\end{array}\right]+ \frac {d}{dt}{T\left[\begin{array}{cc}0 \\ -c\end{array}\right]} $

Formel 10.1-17: Geschwindigkeit von Q im Inertialkoordinatensystem


..und so für die Kräfte:

$ \vec F_{R1} = -D \vec v_P $

Formel 10.1-18: Kraft FR1 im Inertialkoordinatensystem


$ \vec F_{R2} = -D \vec v_Q $

Formel 10.1-19: Kraft FR2 im Inertialkoordinatensystem


  • 4. Kinematik für FR1 und FR2 in der Euler-Gleichung:

Mit Hilfe obiger Beziehungen läßt sich bestimmen:

$ \vec M_{R1} = \left(T \vec r_{SP} ^{\prime} \right) x \left(-D \vec v_P\right) $

Formel 10.1-20: Kraft Moment MR1 im Inertialkoordinatensystem


$ \vec M_{R2} = \left(T \vec r_{SQ} ^{\prime} \right) x \left(-D \vec v_Q\right) $

Formel 10.1-21: Kraft Moment MR2 im Inertialkoordinatensystem