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© Guido Kramann

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4 Einführung in die Anwendung der Laplace-Transformation

  • In der Regelungstechnik verwendet man Übertragungsglieder zur Darstellung der Komponenten eines Regel-Systems.
  • Diese lassen sich aus den gegebenen Gleichungen / Differentialgleichungen durch eine Transformationsvorschrift gewinnen.
  • Der Vorteil beim Umgang mit diesen Transformierten sind die sehr einfachen Rechenregeln für deren Reihen- und Parallelschaltung.
  • Die Transformationsvorschrift für eine Funktion im Zeitbereich f(t) lautet:
Laplace-Transformation

Bild 4-1: Laplace-Transformation

  • Es handelt sich hier um ein so genanntes Faltungsintegral.
  • Eine Gewichtsfunktion wird mit f multipliziert und über jeden Zeitpunkt aufintegriert.
  • Ohne das δ in s handelte es sich bei der Zusatzfunktion um eine Kreisschwingung mit variabler Frequenz.
  • Nähme man ein konkretes ω1 heraus, würde man f zu jedem Zeitpunkt mit dieser konkreten Schwingung gewichten.
  • D.h. je eher f der Schwingung entspricht, desto größer fällt ihr Faltungsintegral an der Stelle ω1 aus.
  • Man erhält also eine Funktion F(s), die aussagt, wie gut f(t) die Funktion e-ts an einer beliebingen Stelle s abbildet.
  • Das besondere an der Sache ist, dass es auch eine eindeutige Vorschrift gibt, wie man aus F(s) wieder f(t) gewinnt:
Laplace-Rück-Transformation

Bild 4-2: Laplace-Rück-Transformation

  • Mit Hilfe bekannter elementarer Laplace-Transformationen können die Laplace-Transformierten zusammengesetzter Funktionen ermittelt werden.
  • Insbesondere ergibt die n-te Differentation im Zeitbereich als Transformierte eine bloße Multiplikation sn.
  • Eine Integration im Zeitbereich bedeutet die Division durch s im Bildbereich.
  • Eine Multiplikation mit einer Konstanten bleibt erhalten.
  • Hier ein elementares Beispiel (a,b,c,d: konstante Faktoren):
Laplace-Transformation einer Differential/Integtralgleichung

Bild 4-3: Laplace-Transformation einer Differential/Integtralgleichung

  • x,y der Gleichung im Zeitbereich sind Funktionen der Zeit: x(t), y(t)
  • X,Y der Gleichung im Bildbereich sind Funktionen von s: X(s), Y(s)
  • Durch die Möglichkeit X(s) vorzuziehen, wird es möglich, die Funktion in der X drin stand für sich als "Übertragungsfunktion" G(s) zu betrachten:
Eingangsgröße, Ausgangsgröße und Übertragungsfunktion im Bildbereich

Bild 4-4: Eingangsgröße X, Ausgangsgröße Y und Übertragungsfunktion G im Bildbereich