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© Guido Kramann

Technische Systeme aus systemtheoretischer Sicht

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Moderne Methoden der mathematischen Modellbildung und Simulation helfen, Zusammenhänge bei komplexen Systemen zu verstehen.

Einerseits stellt diese Fertigkeit einen eigenen technischen Zweig dar, der es insbesondere erlaubt technische Systeme ohne umfangreiche Tests passend zu parametrisieren, oder auch Regelkreise auszulegen.

Andererseits verhilft die Simulationstechnik auch Wirkungen und Folgen vorherzusehen und quantitativ abzuschätzen, die mit der Einführung technischer Systeme einher gehen würden und im Nachhinein aufgetretene Effekte besser zu verstehen. Insbesondere die Folgen groß angelegter Eingriffe in ein Ökosystem, wie dies beim Bau eines Staudamms auftritt, lassen sich so besser vorhersehen. Ein relativ früh entwickeltes Grundmodell ist das Räuber-Beute-Modell nach Lottka und Volterra.

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Bild 0-1: Räuber: Lux, Beute: Schneehase. Zeitliche Entwicklung der Populationen. Quelle: en.wikipedia

$ \frac {dB}{dt} = a \cdot B - b \cdot R \cdot B $

Formel 0-1: Beute

$ \frac {dR}{dt} = c \cdot R \cdot B - d \cdot R $

Formel 0-2: Räuber

Erläuterungen

B sind die menge der Beutetiere, R die Menge der Räuber.
Die Beutetiere vermehren sich mit einer Rate, die proportional den schon vorhandenen Tieren ist (a*B).
Die Beute wird von den Räubern reduziert, abhängig davon wieviel Räuber und wieviel Beute vorhanden ist (-b*R*B).
Die Räuber haben eine Sterberate (-d*R).
Der Zuwachs der Räuber hängt sowohl von der Anzahl der bereits vorhandenen Räuber ab, als auch von der Anzahl der vorhandenen Beutetiere.

Simulation

Durch Verwendung des Euler-Integrationsverfahrens und durch Verwendung einer Zeitschrittweite von 1, ergibt sich ein einfacher Algorithmus für das zeitliche Verhalten (weitere Erklärungen s. Unterricht):

Es werden dann die folgenden Zeilen iterativ ausgeführt und visuell dargestellt:

var Bneu = B + B*0.01  - B*R*0.0001;
var Rneu = R - R*0.01  + B*R*0.0001;
B = Bneu;
R = Rneu;

Code 0-1: Berechnungsteil des Simulationsprogramms.


function setup()
{
    strokeWeight(4);
    textSize(50);
    createCanvas(700, 700);
}

var B = 100;
var R = 10;
function draw()
{
    background(0);
    noStroke();
    fill(255,255,0);
    text("BEUTE: "+B,30,60+height/2);
    rect(30,60+height/2,B,20);
    fill(255,0,0);
    text("RÄUBER: "+R,30,120+height/2);
    rect(30,120+height/2,R,20);
    
    //dB/dt = wb*B - k1*R*B UND 
    //dR/dt = (k2*B -sr)*R
    
    var Bneu = B + B*0.01  - B*R*0.0001;
    var Rneu = R - R*0.01  + B*R*0.0001;
    B = Bneu;
    R = Rneu;
}

Code 0-2: Gesamter Quelltext zu nachfolgend sichtbarem Beispiel.